Độc lập tuyến tính

Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.

Các vectơ độc lập tuyến tính trong ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Các vectơ phụ thuộc tuyến tính trên một mặt phẳng trong ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Một hệ các vectơ {v₁,...,v_n} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính,

nếu tồn tại các số: k₁,..., k_n không đồng thời bằng 0 sao cho:

k₁ v₁ +... + k_n v_n = 0.

• hệ các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

k₁ v₁ +... + k_n v_n = 0

chỉ có nghiệm duy nhất: k₁ = k₂ =... = k_n = 0

Tính chất

Cho V là không gian vectơ trên trường K:

Phụ thuộc tuyến tính	Độc lập tuyến tính
Mọi tập hợp chứa vectơ 0v đều phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu 0v ∈ S thì S phụ thuộc tuyến tính.	Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì không chứa vectơ 0v, tức là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì 0v${\displaystyle \notin }$S.
Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu E ${\displaystyle \subset }$F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính.	Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. Tức là ${\displaystyle \emptyset }$ ≠ E ${\displaystyle \subset }$ F và F độc lập tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.
Tập S={u1,u2,...,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui ∈ S sao cho ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.	Tập S ≠ ${\displaystyle \emptyset }$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi vectơ bất kỳ u ∈ S đầu không thể là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
Mọi tập khác rỗng S ${\displaystyle \subset }$ V thì hoặc S độc lập tuyến tính hoặc S phụ thuộc tuyến tính.

Ý nghĩa hình học

• Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
• Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Ví dụ

• Hai vectơ (1,2,3,4) và (-3,-6,-9,5) là độc lập tuyến tính.
• (1,2) và (-2,-4) không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ₁ = 1 và λ₂ = 2 thỏa mãn λ₁(-2,-4) + λ₂(1,2) = 0.

Độc lập tuyến tính trong không gian R {\displaystyle {\mathbb {R} }} n (hoặc C {\displaystyle {\mathbb {C} }} n)

• Trong không gian Rⁿ một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v₁,...,v_m} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu hệ các vectơ {v₁,...,v_m} là độc lập tuyến tính trong không gian Rⁿ, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:

k₁ v₁ +... + k_m v_m

là một không gian con đẳng cấu với R^m.

• Một hệ n vectơ {v₁,...,v_n} là độc lập tuyến tính trong không gian Rⁿ, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không (det A ≠ 0).
• Một hệ n vectơ {v₁,...,v_n} là phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rⁿ, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức bằng không (det A = 0).

Xem thêm

• Cơ sở của không gian vectơ
• Đại số tuyến tính