Bài toán Brocard

Đừng nhầm với giả thuyết Brocard.

Bài toán Brocard là bài toán mở trong toán học yêu cầu tìm các giá trị nguyên của ${\displaystyle n}$ và ${\displaystyle m}$ sao cho $${\displaystyle n!+1=m^{2},}$$ với ${\displaystyle n!}$ là giai thừa. Nó được đưa bởi Henri Brocard trong hai bài báo vào 1876 và 1885,^[1][2] và độc lập trong 1913 bởi Srinivasa Ramanujan.^[3]

Vấn đề mở trong toán học: Phương trình ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ có nghiệm nguyên nào khác không ngoài ${\displaystyle n=4,5,7}$? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Số Brown

Các cặp ${\displaystyle (n,m)}$ giải bài toán Brocard được đặt tên cặp số Brown bởi Clifford A. Pickover trong quyển sách năm 1995 của ông: Chìa khóa tới vô cực, sau khi biết được bài toán từ Kevin S. Brown.^[4] Hiện vào tháng 5 năm 2021, chỉ có 3 cặp số Brown được biết: (4,5), (5,11), và (7,71) dựa trên các đẳng thức sau:

4! + 1 = 5² = 25,

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5041

Paul Erdős phỏng đoán rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại. Tìm kiếm bằng máy tính lên tới 10¹⁵ cũng không thấy nghiệm nào khác tồn tại.^[5][6][7]

Quan hệ với giả thuyết abc

Từ giả thuyết abc sẽ ra được chỉ có hữu hạn số Brown.^[8] Tổng quát hơn, từ giả thuyết ta cũng sẽ chứng minh được

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

có hữu hạn số nghiệm với bất kỳ số nguyên ${\displaystyle A}$,^[9] và

${\displaystyle n!=P(x)}$

có hữu hạn số nghiệm nguyên với bất kì đa thức ${\displaystyle P(x)}$ với bậc không nhỏ hơn 2 và hệ số nguyên.^[10]