Bình phương

Bình phương hay mũ 2 là phép toán áp dụng cho mọi số thực hoặc số phức. Bình phương của một số là tích của số đó với chính bản thân nó 2 lần.^[1] Một cách tổng quát, bình phương chính là lũy thừa bậc 2 của một số,^[1] và phép toán ngược với nó là phép khai căn bậc 2.

5 ⋅ 5, hay 5² (5 mũ 2, 5 bình phương). Mỗi khối đại diện cho một đơn vị, 1⋅1, và toàn bộ hình vuông đại diện cho diện tích hình vuông đó, hay là 5 ⋅ 5.

Bảng bình phương

n	n2		n	n2		n	n2
1	1		12	144		23	529
2	4		13	169		24	576
3	9		14	196		25	625
4	16		15	225		26	676
5	25		16	256		27	729
6	36		17	289		28	784
7	49		18	324		29	841
8	64		19	361		30	900
9	81		20	400		31	961
10	100		21	441		32	1024
11	121		22	484		33	1089

Tính chất

Bình phương của số thực luôn là số ≥0. Bình phương của một số nguyên gọi là số chính phương.

Tính chất của số chính phương

Bài chi tiết: Số chính phương

• Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9. Số chính phương không thể tận cùng là: 2; 3; 7; 8.
• Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Một số chính phương có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.
  • Chứng minh: Số chính phương ${\displaystyle a=b^{2}}$ có tận cùng là 5 suy ra ${\displaystyle b}$ có tận cùng là ${\displaystyle 5}$. Đặt ${\displaystyle b=10x+5}$. Ta có ${\displaystyle (10x+5)^{2}=100x^{2}+100x+25=100(x^{2}+x)+25}$, có hai chữ số tận cùng là 25, do đó chữ số hàng chục là 2. Số chính phương ${\displaystyle a=b^{2}}$ có tận cùng là 6 suy ra ${\displaystyle b}$ có tận cùng là 4 hoặc 6. Xét $${\displaystyle (10x+4)^{2}=100x^{2}+80x+16=6+10(10x^{2}+8x+1)=6+10[2(5x^{2}+4x)+1]}$$ và $${\displaystyle (10x+6)^{2}=100x^{2}+120x+36=6+10(10x^{2}+12x+3)=6+10[2(5x^{2}+6x+1)+1]}$$. Do đó chữ số hàng chục là số lẻ.
• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố thì các thừa số chỉ chứa số mũ chẵn.
• Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ.
• N là số chính phương thì N chia hết cho một số nguyên tố khi và chỉ khi N chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó (trừ trường hợp N=0; N=1).
• Tích của nhiều số chính phương là một số chính phương.
  • Ví dụ: a² × b² × c² = (a × b × c)²

Ký hiệu

Số mũ ² bên phải của số được bình phương.

Ví dụ

• Số thực:

2² = 2 × 2 = 4

15² = 15 × 15 = 225

(- 0,5)² = 0,25

• Số phức:

${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle (3+2i)^{2}=5+12i}$