Danh sách số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo
bài viết danh sách Wikimedia From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo là hai loại số tự nhiên có quan hệ chặt chẽ với nhau trong lý thuyết số. Số nguyên tố Mersenne đặt theo tên nhà toán học Marin Mersenne là các số nguyên tố có thể biểu thị dưới dạng 2p − 1 với p là số nguyên dương. Ví dụ, 3 là số nguyên tố Mersenne vì nó là số nguyên tố và có thể biểu diễn được dưới dạng 22 − 1.[1][2] Bản thân các số p tương ứng với số nguyên tố Mersenne phải là số nguyên tố, nhưng ngược lại không phải mọi số nguyên tố p đều dẫn đến số nguyên tố Mersenne — ví dụ: 211 − 1 = 2047 = 23 × 89.[3] Còn số hoàn hảo là số tự nhiên bằng tổng các ước số dương của chính nó, không bao gồm ước số là chính số đó. Theo đó, 6 là số hoàn hảo vì có các ước số (không bao gồm 6) là 1, 2, 3 và 1 + 2 + 3 = 6.[2][4]
Tồn tại song ánh giữa các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn được phát biểu trong Định lý Euclid–Euler, do Euclid chứng minh một phần và Leonhard Euler hoàn thiện: các số chẵn là hoàn hảo khi và chỉ khi biểu diễn được dưới dạng 2p − 1 × (2p − 1), trong đó 2p − 1 là số nguyên tố Mersenne. Nói cách khác, những số nào biểu diễn được dưới dạng đó thì là số hoàn hảo, và tất cả các số hoàn hảo chẵn đều có dạng đó. Ví dụ, khi p = 2, 22 − 1 = 3 là số nguyên tố và 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 là số hoàn hảo.[1][5][6]
Một bài toán mở hiện chưa có câu trả lời là số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo chẵn có phải tập vô hạn không.[2][6] Tần suất phân bố số nguyên tố Mersenne được đề cập qua phỏng đoán Lenstra – Pomerance – Wagstaff phát biểu rằng số lượng số nguyên tố Mersenne nhỏ hơn x cho trước là (eγ / log 2) × log log x, trong đó e là số Euler, γ là hằng số Euler còn log là logarit tự nhiên.[7][8][9] Việc có tồn tại số hoàn hảo lẻ nào không hiện cũng chưa rõ; cũng như các điều kiện khác nhau về việc có thể tồn tại những số này, chẳng hạn như nếu có thì giới hạn dưới của chúng là 101500.[10]
Danh sách dưới đây liệt kê tất cả các số nguyên tố Mersenne và số hoàn hảo hiện đã biết theo số mũ p tương ứng. Tính đến tháng 1/2025, đã khám phá được 52 số nguyên tố Mersenne (tương ứng với 52 số hoàn hảo), 18 số lớn nhất trong đó được phát hiện nhờ dự án máy tính phân tán Great Internet Mersenne Prime Search (Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet) viết tắt là GIMPS.[2] Các số nguyên tố Mersenne mới được tìm thấy bằng Kiểm tra Lucas-Lehmer (Lucas-Lehmer test - LLT), một kiểm tra tính nguyên tố dành cho số nguyên tố Mersenne theo cách hiệu quả đối với máy tính nhị phân.[2]
Các chỉ số xếp theo thứ tự tăng dần. Theo GIMPS, tất cả các khả năng nhỏ hơn số mũ thích hợp thứ 49 là p = 74.207.281 đều đã được kiểm tra và xác minh tính đến thời điểm tháng 6 năm 2025.[11] Năm và người phát hiện được tính theo thời điểm cho số nguyên tố Mersenne, vì số hoàn hảo được tính theo hệ quả định lý Euclid-Euler. "GIMPS / tên" được dùng để chỉ những số nguyên tố được phát hiện bởi GIMPS và cá nhân đã phát hiện ra số nguyên tố đó. Các số về sau quá dài không viết hết được trong khuôn khổ nên chỉ hiển thị 6 chữ số đầu và 6 chữ số cuối.
Remove ads
Danh sách
Remove ads
Ghi chú
- Bốn số hoàn hảo đầu tiên được Nicomachus nghiên cứu khoảng năm 100, và khái niệm này (tương ứng với số nguyên tố Mersenne) được Euclid biết đến và chép trong bộ Cơ sở. Không có ghi nhận về việc phát hiện.
- Các nhà Toán học Hồi giáo Trung Cổ như Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194–1239) có thể biết về số hoàn hảo thứ năm đến thứ bảy trước khi châu Âu ghi nhận.[15]
- Standards Western Automatic Computer - Máy tính điện tử của NIST năm 1950
- Binär Elektronisk SekvensKalkylator - Máy tính điện tử đầu tiên của Thụy Điển 1953–1966
- Máy tính lớn tốc độ 100 Kflop/s bắt đầu hoạt động từ tháng 12 năm 1959
- Loạt siêu máy tính vector do NEC sản xuất, là những máy tính đầu tiên vượt 1 gigaflop và có tốc độ nhanh nhất thế giới vào những năm 1992–1993, 2002–2004
- Tính đến ngày 21 tháng 7 năm 2025[cập nhật][11]
Remove ads
Chú thích
Thư mục
Liên kết ngoài
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads