Số nguyên tố Fibonacci

Một số nguyên tố Fibonacci là một số Fibonacci đồng thời là số nguyên tố. Sau đây là một vài số nguyên tố Fibonacci

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597,... (dãy số A005478 trong bảng OEIS)

Trừ trường hợp n = 4, nếu F_n là số nguyên tố thì n là số nguyên tố. Tuy nhiên mệnh đề đảo không đúng.

Khảo sát tính nguyên tố của 25 số Fibonacci đầu tiên

n	F(n)	-	n	F(n)	-
0	0	-	1	1	-
[2]	1	-	[3]	2	PRIME
4	3	PRIME	[5]	5	PRIME
6	8	= 2^3	[7]	13	PRIME
8	21	= 3 x 7	9	34	= 2 x 17
10	55	= 5 x 11	[11]	89	PRIME
12	144	= 24 x 32	[13]	233	PRIME
14	377	= 13 x 29	15	610	= 2 x 5 x 61
16	987	= 3 x 7 x 47	[17]	1597	PRIME
18	2584	= 23 x 17 x 19	[19]	4181	= 37 x 113
20	6765	= 3 x 5 x 11 x 41	21	10946	= 2 x 13 x 421
22	17711	= 89 x 199	[23]	28657	PRIME
24	46368	= 25 x 32 x 7 x 23	25	75025	= 52 x 3001

F_p là số nguyên tố với 8 số trong 10 số nguyên tố đầu tiên; trừ F₂ = 1 và F₁₉ = 4181 = 37 x 113. Tuy nhiên, các số nguyên tố Fibonacci là khá hiếm khi chỉ số tăng - F_p là số nguyên tố chỉ 25 số trong số 1.229 số nguyên tố p dưới 10.000.^[1]

Hiện tại, số nguyên tố Fibonacci lớn nhất được biết là F₈₁₈₃₉, với 17103 chữ số;^[2] số lớn nhất có khả năng là nguyên tố Fibonacci là F₆₀₄₇₁₁, với 126377 chữ số.^[3] Chưa biết chắc rằng có thể có vô hạn số nguyên tố Fibonacci không.

Tính chia hết của các số Fibonacci với chỉ số nguyên tố

Các số Fibonacci có chỉ số p nguyên tố không có ước chung lớn hơn 1 với các số Fibonacci khác, đó là vì

ƯCLN(F_n, F_m) = F_ƯCLN(n,m).^[4]

Với n≥3, F_n chia hết F_m nếu n chia hết m.^[5]

Nếu ta biết rằng m, là một số nguyên tố p thì từ đẳng thức trên, và n là nhỏ hơn p, rõ ràng rằng F_p, không thể có ước chung khác với bất kỳ số Fibonacci nào.

ƯCLN(F_p, F_n) = F_ƯCLN(p,n) = F₁ = 1

Định lý Carmichael khẳng định rằng mọi số Fibonacci với chỉ số lớn hơn 12 có ít nhất một ước nguyên tố không là ước của các số Fibonacci nào đứng trước nó.