Tổng Abel

Tổng Abel mặc dù đã được phát biểu bởi tên nhà toán học Na Uy Niels Henrik Abel (1802-1829) nhưng các lý thuyết khả tổng được nghiên cứu bởi Euler và Gottfried Wilhelm Leibniz.

Định nghĩa khả tổng Abel

Một chuỗi vô hạn các số phức

${\displaystyle \sigma =\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$

có thể tính được theo phương pháp Abel về một tổng số ${\displaystyle S}$ nếu chuỗi

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

hội tụ với mọi x sao cho 0 < x < 1 và

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=S}$

thì chuỗi ${\displaystyle \sigma }$ gọi là khả tổng theo Abel.

Định lý giới hạn Abel

Kết luận rằng với các điều kiện mà tổng Abel đòi hỏi như trên thì tổng ${\displaystyle \sigma }$ hội tụ về S.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=S}$

Lưu ý

Định lý này vẫn đúng cho trường hợp đặc biệt là chuỗi các số thực.