Groep (algebra)

Ne groep is in wiskunde 'n verzoamelienge met doaby 'n bewerkinge die an 'n antal eigenschappn vuldoet. De theorie van de groepn is ountwikkeld deur Evariste Galois.

Definitie

Ne groep ${\displaystyle (G,*)}$ is 'n nie-lege verzoamelinge G me 'n bewerkinge ${\displaystyle *:G\times G\rightarrow G}$ me de volgende eigenschappn:

• Inwendig en overol gedefinieerd: ${\displaystyle \forall a,b\in G:a*b\in G}$
• Associativiteit: ${\displaystyle \forall a,b,c\in G:(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c}$.
• Neutroal element (of êenheidselement): ${\displaystyle \exists e:\forall a\in G:e*a=a=a*e}$
• Invers element (of symmetrisch element): ${\displaystyle \forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a*a^{-1}=e=a^{-1}*a}$.

Ne groep moe nie nôodzakelijk commutatief zyn:

• Commutativiteit: ${\displaystyle \forall a,b\in G:a*b=b*a}$

Ne groep die wel commutatief is, noemn we ne commutatieve of abelse groep (noa Niels Abel).

Eigenschappn

• 't Neutroal element is ênig.
• 't Invers element is ênig.

Vôorbilden

• De gehêle getalln met de optellinge, is ne commutatieve groep:(${\displaystyle \mathbb {Z} }$, +).
• De reële getalln (zounder nul) met de vermenigvuldiginge is ne commutatieve groep:(${\displaystyle \mathbb {R} }$\{0}, ·).