二項式定理

二項式定理者，以究二項和之冪之拆解也。

公式

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left[C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\right]}$

嚴證

可以數學歸納法證之：

${\displaystyle n=0}$，則

${\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}\left[C_{0}^{k}a^{0-k}b^{k}\right]}$

${\displaystyle n=1}$，則

${\displaystyle (a+b)^{1}=a+b=\sum _{k=0}^{1}\left[C_{1}^{k}a^{1-k}b^{k}\right]}$

令${\displaystyle n=j}$，則

${\displaystyle (a+b)^{j}=\sum _{k=0}^{j}\left[C_{j}^{k}a^{j-k}b^{k}\right]}$

${\displaystyle n=j+1}$，則

${\displaystyle (a+b)^{j+1}=(a+b)\sum _{k=0}^{j}\left[C_{j}^{k}a^{j-k}b^{k}\right]}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{j}\left[C_{j}^{k}a^{j+1-k}b^{k}\right]+\sum _{k=0}^{j}\left[C_{j}^{k}a^{j-k}b^{k+1}\right]}$

${\displaystyle =a^{j+1}+\sum _{k=1}^{j}\left[C_{j}^{k}a^{j+1-k}b^{k}\right]+\sum _{k=1}^{j}\left[C_{j}^{k-1}a^{j+1-k}b^{k}\right]}$

${\displaystyle =a^{j+1}+\sum _{k=1}^{j}\left[C_{j+1}^{k}a^{j+1-k}b^{k}\right]}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{j}\left[C_{j+1}^{k}a^{j+1-k}b^{k}\right]}$

故得證之。