基本不等式

基本不等式者，又云算幾不等式，算術-幾何不等式，所以究平均數之不等性也。曰：正數若干，其算均小於幾均或等之。若等之，必然各數一致。

算均者，以和商取均也；幾均者，以積方取均也。式曰

${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}},\quad a,b\in [0,+\infty )}$

嚴證

實數自乘，絕無負數，故：

${\displaystyle (a-b)^{2}\geqslant 0}$

移項左右，得：

${\displaystyle (a+b)^{2}\geqslant 4ab}$

${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$咸非負，取算數平方根，則曰：

${\displaystyle a+b\geqslant 2{\sqrt {ab}}}$

是爲所欲證矣。