康托爾定理

康托爾定理云：「集之基數，小于其冪集。」觀自然數，數甲小于二之甲次方也（「${\displaystyle n<2^{n}}$」）。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

觀乎自然數集，其冪集之基數同乎實數集。康托爾得對角線證明法，知實數集不可數。康氏取此法精粹，推而廣之，遂得證康托爾定理。

證

集甲之基數小于其冪集者，謂甲映射冪集，必非滿射也。（「${\displaystyle |A|<|P(A)|\iff (\forall F:A\rightarrow P(A))F(A)\neq P(A)}$」）

今取甲映射冪集。甲之元素非己象之屬者，聚以成一大集。凡甲之物，或屬大集，或不然。若然，則非己象之物，故己屬于大集去己象，可知大集異於己象；若非，則乃己象之物，故己屬于己象去大集，可知大集異於己象也。是以甲物之象必異於大集，故映射非滿射也。

（以數式示之如下︰「${\displaystyle F:A\rightarrow P(A)}$。${\displaystyle S=\{a\in A\$ :\ a\notin F(a)\}} 。

${\displaystyle a\in A\implies (a\in S)\vee (a\notin S)}$。

${\displaystyle a\in S\implies a\notin F(a)\implies a\in S\setminus F(a)\implies S\neq F(a)}$；

${\displaystyle a\notin S\implies a\in F(a)\implies a\in F(a)\setminus S\implies S\neq F(a)}$。

${\displaystyle ((\forall a\in A)F(a)\neq S)\implies F(A)\neq P(A)}$　」）