拋物線

拋物線者，一名畢弗，平方函數之易也^[一]，亦圓錐曲線耳。投射矢石，咸從之而行，因以為名。

有對稱軸，軸上有焦點。光平行於軸，反射於線，必至焦點。故電子望遠鏡咸為拋物線，所以聚光源也，探照燈則反之，所以得光束也。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

平面上落一焦點${\displaystyle P(x,y)}$，又有一線${\displaystyle L:ax+by+c=0}$，點P不落於線，而求至項點距同於至線之距者，其形也拋物線也。

方程

定義式

據其義，集為圖形之點${\displaystyle P(x,y)}$，至準、焦同長也。 定焦${\displaystyle F(x_{F},y_{F})}$、準${\displaystyle L:ax+by+c=0}$。以畢氏定理知至焦之長曰${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}}}}$，至準之距曰${\displaystyle {\frac {|ax+by+c=0|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$，其同長者，即：

• ${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{F})^{2}+(y-y_{F})^{2}}}={\frac {|ax+by+c=0|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

對稱軸平行於座標軸

以${\displaystyle A(x_{0},y_{0})}$為頂。

左右開向

• ${\displaystyle y^{2}=4cx}$，焦距即${\displaystyle |c|}$。${\displaystyle c>0}$者，右口也；${\displaystyle c<0}$者，左口也。

上下開向

• ${\displaystyle x^{2}=4cy}$，焦距即${\displaystyle |c|}$。${\displaystyle c>0}$者，上口也；${\displaystyle c<0}$者，下口也。

二次函數

a者，非零也。

• 以上下為口者，${\displaystyle y=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}}$或${\displaystyle y=ax^{2}+bx+k}$。
• 以左右為口者，${\displaystyle x=a(y-y_{0})^{2}+x_{0}}$或${\displaystyle x=ay^{2}+by+k}$。

推導

設其項點(0,0)，準線${\displaystyle l:x=-{\frac {p}{2}}\ ,p\not =0}$，集點${\displaystyle F({\frac {p}{2}},0)}$，則可得

${\displaystyle \mathrm {P} =[M|MF=d]}$

${\displaystyle {\overline {MF}}={\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}\ ,d=\left\vert x+{\frac {p}{2}}\right\vert }$

即

${\displaystyle {\sqrt {(x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}}}=\left\vert x+{\frac {p}{2}}\right\vert }$

平方之，得

${\displaystyle (x-{\frac {p}{2}})^{2}+y^{2}=(x+{\frac {p}{2}})^{2}}$

得

${\displaystyle y^{2}=2px}$

亦有

${\displaystyle x^{2}=2py}$

二次函數

• ${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k}$ （${\displaystyle h}$，${\displaystyle k}$ 為頂點之橫座標及縱座標，且${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}$，${\displaystyle k=-{\frac {\Delta }{4a}}}$）

導數

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x-h)^{2}+k-[a(x-h)^{2}+k]}{\Delta x}}=a[2x+(\Delta x)^{1}-2h]}$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2a(x-h)}$

• ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

導數

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {a(x+\Delta x)^{2}+b(x+\Delta x)+c-[ax^{2}+bx+c]}{\Delta x}}=2ax+a\Delta x+b}$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=2ax+b}$