正弦定理

正弦定理者，三角公式也。其義曰：三角邊除以對角之正弦函數，常數也。其式曰：

正弦定理一證

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

且常數者，其外接圓之直徑也。故：

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=d=2R}$

證

證一

一般之制者，弗涉外接圓也。可加一邊垂高，分二直角三角。以正弦函數之義證之。 設加垂高於 ${\displaystyle c}$ ，其長為 ${\displaystyle h}$ ，則：

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{a}}}$

${\displaystyle h={\frac {a}{\sin A}}}$

${\displaystyle \sin B={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle h={\frac {b}{\sin B}}}$

${\displaystyle \therefore {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}}$

同理，舉一隅，可反三隅也。

證二

涉外接圓之制者：設外接圓之心為 ${\displaystyle O}$ 。設 ${\displaystyle O\perp BC}$ 於 ${\displaystyle P}$ 。以歐幾里得幾何兼正弦函數之義證之。

${\displaystyle \mathrm {(reflex)} \angle BOC=2\angle BAC}$ （圓心角二倍於圓周角）

證三