組合學

組合學，派自離散數學。所研究之物，均可別而數之者，謂之離散。離散之物，各有異同，原理討則，此組合之學也。

昔者是學，以組合及順列為主。組合者，類別不分先後次序；順列者反是。設黑白二丸，先後分予一人。則或先黑後白，或先白後黑，其人均得二丸，故為一組合。以黑白先後有別，爲二順列也。推而廣之，橋牌各面之現也，其機率可以算矣。

今是學也，拓宇於圖論、偏序集論等。各點之間，用綫相連而成，乃用綫段表其繫屬，此數學之模也，謂之圖。偏序集者，亦數學之模也。言各集之間次第而成者。是學所原之理，不復限於組合與次列。

組合之名，和譯也，織綜之義。

記方

${\displaystyle n}$物中取${\displaystyle m}$之組合數，其記方四方不一；中、俄、法等記之${\displaystyle C_{n}^{m}}$，他處記之${\displaystyle C_{m}^{n}}$。順列數亦然，中國記之${\displaystyle P_{n}^{m}}$或${\displaystyle A_{n}^{m}}$，他處記之${\displaystyle P_{m}^{n}}$。亦見${\displaystyle C(n,m)}$、${\displaystyle _{n}C_{m}}$、${\displaystyle ^{n}C_{m}}$、${\displaystyle C_{n,m}}$所以表組合，及易${\displaystyle C}$以${\displaystyle P}$以表順列之記方。

公式

下採中記。

一、${\displaystyle \mathrm {A} _{n}^{m}=m!\mathrm {C} _{n}^{m}}$，${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{m}={\frac {\mathrm {A} _{n}^{m}}{m!}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$

二、${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{m}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}={\frac {n!}{(n-m)!m!}}=\mathrm {C} _{n}^{n-m}}$

三、${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{m-1}+\mathrm {C} _{n}^{m}=\mathrm {C} _{n+1}^{m}}$

式三之證：

${\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{m-1}+\mathrm {C} _{n}^{m}={\frac {n!}{(m-1)!(n-m+1)!}}+{\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$

${\displaystyle ={\frac {n!\cdot m}{m!(n-m+1)!}}+{\frac {n!\cdot (n-m+1)}{m!(n-m+1)!}}}$

${\displaystyle ={\frac {n!\cdot (n+1)}{m!(n-m+1)!}}}$

${\displaystyle ={\frac {(n+1)!}{m!(n+1-m)!}}}$

${\displaystyle =\mathrm {C} _{n+1}^{m}}$