群 (代數)

群者，抽對稱性之象，今代數學之本也。起之者，挪威國疇人阿貝爾也；光之者，法國疇人伽羅瓦耳。

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

定義

群，三元之組也，曰集「天」、運算「乘」、元「幺」者，合：

• 幺，天之元也。^[一]（非空性）
• 乘，映射也，二元運算于天也。蓋：凡天之元甲乙者，有二元之組甲乙，映以乘于丙者，亦天之元也。（封閉性） 今凡甲乙映以乘于丙者，甲乙得丙記之。又記，丙，甲乙之積也。
• 凡天之元甲乙丙者，甲乙之積與丙之積，同甲與乙丙之積之積。（結合性）
• 夫幺，凡天之元甲者，幺甲同甲幺，亦同乎甲之己身。（幺存性）
• 凡天之元甲者，其必有天之元甲^丅，使甲甲^丅同甲^丅甲，均積作幺，稱甲^丅以甲之逆也。（逆存性）

凡合上律三元組者曰群。常稱集「天」為群，運算、幺，略而不表也。又若：

• 凡群天之元甲乙者，甲乙必同乙甲。（交換性）

稱交換群，又，阿貝爾群。

上文易拉丁字述之從下：

群，三元之組，曰 ${\displaystyle (G,\circ ,e)}$ 者，合：

• ${\displaystyle e}$，${\displaystyle G}$ 之元也。（非空性）
• ${\displaystyle \circ }$，映射也，二元運算于 ${\displaystyle G}$ 也。蓋：凡 ${\displaystyle a,b\in G}$，有二元之組 ${\displaystyle (a,b)}$，映以 ${\displaystyle \circ }$ 于 ${\displaystyle c\in G}$ 也。（封閉性）
• 凡 ${\displaystyle a,b,c\in G}$，有 ${\displaystyle a(bc)=(ab)c}$。（結合性）
• 夫 ${\displaystyle e}$，凡 ${\displaystyle a\in G}$，有 ${\displaystyle ae=ea=a}$。（幺存性）
• 凡 ${\displaystyle a\in G}$，其必有 ${\displaystyle a^{-1}\in G}$，使 ${\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=e}$。（逆存性）

凡合上律三元組者曰群。常稱集 ${\displaystyle G}$ 為群，${\displaystyle \circ }$、${\displaystyle e}$，略而不表也。又若：

• 夫群 ${\displaystyle G}$，凡 ${\displaystyle a,b\in G}$ 者，必有 ${\displaystyle ab=ba}$。（交換性）

稱交換群，又，阿貝爾群。

例

• 整數集合其加法，交換群也，取幺以數〇。
• 整數集合其乘法，非群也。蓋若為群，取幺無非數一耳，而二無可逆者。
• 偶數集合其加法，非群也，蓋無幺取耳。
• 「負一，〇，一」合整數常加之法，非群也，蓋一一之積無存與此耳。合模三同餘而加之法，群也。

• 整數集，合運算以凡甲乙，得積甲乙之合又自增以一（${\displaystyle x\circ y=x+y+1}$）者，交換群也，取幺以負一，又取逆以負二減之（${\displaystyle x^{-1}=-2-x}$），合也。
• 可逆矩陣合其乘法，群也。然非交換群耳。
• 四元數合其乘法，群也。然非交換群耳。