平方根
乘二次方的逆运算 / 维基百科,自由的 encyclopedia
在数学中,一个数的平方根指的是满足的数,即平方结果等于的数。例如,4和-4都是16的平方根,因为。
任意非负实数都有唯一的非负平方根,称为算术平方根或主平方根(英语:principal square root),记为,其中的符号称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作 ,因为并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英语:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。
正数有两个互为相反数的平方根:正数与负数,可以将两者一起记为。
负数的平方根在复数系中有定义。而实际上,对任何定义了开平方运算的数学对象都可考虑其“平方根”(例如矩阵的平方根)。
- MS的Excel中和大部分编程语言以 "sqrt()"表示。
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了的六十进制数字 1;24,51,10。[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数(无法写作m/n,其中m和n是整数)。[3]
中国的《书》成书于汉朝(约前202年到前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有划一的平方根符号时,人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。
中世纪时,拉丁语中的latus(正方形边)的首个字母“L”被不少欧洲人采用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中则用横线当成latus的简写,在被开方的数下画一线。
最有影响的是拉丁语的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜划,像P和x的合体);⎷(没有上面的横划)是由克里斯托费尔·鲁登道夫在1525年的书Coss首次使用,据说是小写r的变型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“⎷‾”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写),从而形成了现在人们熟知的开方运算符号。
的平方根亦可用指数表示,如:
的绝对值可用的算数平方根表示:
若正整数是平方数,则其平方根是整数。若正整数不是平方数,则其平方根是无理数。
对于正数、,以下式成立:
以虚数单位可将负数的平方根表示为
- ,其中。
例如-5的平方根有两个,它们分别为和。
对于负数、,以下式成立:
正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作(也可以记作,比如电学场景中一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为,故是-1的平方根,而且,所以也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是,如果是任意非负实数,则的算术平方根就是:
之所以等式右侧(包括其对应的负值)是的算术平方根,是因为:
对于任何一个非零的复数都存在两个复数使得。
虚数的算术平方根可以根据以下公式计算:
这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数和,满足
就可以得到方程组
的解:
其中,算术平方根即为
这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设
就可以推出
首先,我们将复数 看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的点。这个点也可以写作极坐标的,其中,是该点到坐标原点的距离,则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作。如果
那么我们将的算术平方根定义为:
因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 的泰勒级数也适用于复数。
上面的公式还可以用三角函数的形式表达:
如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z,其算术平方根可以使用如下公式:[4][5]
其中,方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);主值(英语:Principal value)实部永远非负。
在虚数里,平方根函数的值不是连续的,以下等式不一定成立:
所以这是错误的:
例:若,
数学史中,最重要的平方根可以说是,它代表边长为1的正方形的对角线长,是第一个公认的无理数,也叫毕达哥拉斯常数,其值到小数点14位约为1.4142135623731。
是无理数,可由归谬法证明:
。
注意,6 的素因数分解为 2 × 3,不能写成某个数的平方,因此 就是最简结果 。
《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法;明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[6]。