二次互反律
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在数论中,特别是在同余理论里,二次互反律(Law of Quadratic Reciprocity)是一个用于判别二次剩余,即二次同余方程之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程 可解和 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题,并最后归结为较少的几个情况,从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而,二次互反律只能提供二次剩余的存在性,对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。
其中是勒让德符号。但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。
欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的,随后他又发现了另外七个不同的证明[1]。在《算数研究》一书和相关论文中,高斯将其称为“基石”:
这个定理肯定属于最优雅的基本定理。(Art. 151)
私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石,是一个黄金定律[2]。
高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今,二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况,如三次互反律等等。