二项式定理
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二项式定理(英语:Binomial theorem)描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理,可以将两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式,其中、均为非负整数且。系数是依赖于和的正整数。当某项的指数为0时,通常略去不写。例如:[1]
二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献,他在17世纪描述了这一现象[3]。但早在他之前,就曾有数学家进行类似的研究。例如,古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况[4][5]。公元前三世纪,印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力罗摩发现。在同一时期,波斯数学家卡拉吉(英语:Al-Karaji)[6]和数学家兼诗人欧玛尔·海亚姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪,中国数学家杨辉也得到了类似的结果[7]。卡拉吉(英语:Al-Karaji)用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明[6]。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数[8]。
根据此定理,可以将的任意次幂展开成和的形式
其中每个 为一个称作二项式系数的特定正整数,其等于。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号,可以把它写作
后面的表达式只是将根据与的对称性得出的,通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换得到的,所以它只涉及一个变量。在这种形式中,公式写作
或者等价地
对于正值和,二项式定理,在时是在几何上的明显事实,边为的正方形,可以切割成1个边为的正方形,1个边为的正方形,和2个边为和的长方形。对于,定理陈述了边为的立方体,可以切割成1个边为的立方体,1个边为的立方体,3个长方体,和3个长方体。
在微积分中,此图解也给出导数的几何证明[9]。设且,将解释为的无穷小量改变,则此图解将无穷小量改变,显示为维超立方体 :
其中(针对的)线性项的系数是,将公式代入采用差商的导数定义并取极限,意味着忽略高阶项和更高者,产生公式:。若再进行积分,这对应于应用微积分基本定理,则得到卡瓦列里求积公式:。
当,
假设二项展开式在 时成立。若,
考虑,共7个括号相乘,从7个括号选出其中的4个括号中的,再从剩余的3个括号中选出3个相乘,便得一组,而这样的选法共有种,故总共有个;其他各项同理。
同理,,共个括号相乘,从个括号选出其中的个括号中的,再从剩余的个括号中选出个相乘,便得一组,而这样的选法共有种,故总共有个;其他各项同理。
考虑,每一个括号可以出或出,而最后要有4个、3个相乘,这形同的“不尽相异物排列”,其方法数为,恰好等于;其他各项同理。
同理,,每一个括号可以出或出,而最后要有个、个相乘,这形同的“不尽相异物排列”,其方法数为,恰好等于;其他各项同理。