伽罗瓦理论
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数学中,特别是抽象代数理论中,得名于法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦的伽罗瓦理论提供了域论和群论之间的联系,即伽罗瓦理论基本定理。这样可以将域论中的某些问题还原到群论,使其更简单、更易理解。
若方程的根可用只涉及整数、方根与4种基本算术运算的式子表示,就称方程是根式可解的。伽罗瓦将多项式的根引入为研究课题,这样能根据多项式根置换群的性质描述根式可解多项式方程的特征。这广泛地概括了阿贝尔-鲁菲尼定理,其指出五次及以上的一般多项式不是根式可解的。
伽罗瓦理论证明古典的倍立方、三等分角按其表述不可解,描述可作图多边形的特征(高斯层给出这一特征,但没有证明可作图多项式的完整。所有已知完整证明都需要伽罗瓦理论。)
伽罗瓦最初使用置换群来描述给定的多项式的根与系数间的关系。约瑟夫·刘维尔在伽罗瓦去世14年后将他的著作编辑成册并出版。伽罗瓦理论在数学结流行起来需要更长时间。戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)、利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)、埃米尔·阿廷(Emil Artin)等人发展起来的现代伽罗瓦理论引入了关于域扩张及其自同构的研究。
伽罗瓦理论的进一步抽象为伽罗瓦连接与格罗滕迪克伽罗瓦理论。