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克罗内克积

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线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))} 向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积(向量积) · 内积(数量积) 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 查论编

数学上,克罗内克积(英语:Kronecker product)是两个任意大小的矩阵间的运算,表示为⊗。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广,也是张量积在标准基下的矩阵表示。

尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人,克罗内克积还是以其名字命名。在历史上,克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵。

定义

如果A是一个 m × n 的矩阵,而B是一个 p × q 的矩阵,克罗内克积则是一个 mp × nq分块矩阵

更具体地可表示为

我们可以更紧凑地写为

例子

.

特性

双线性和结合律

克罗内克积张量积的特殊形式,因此满足双线性结合律

其中,A, BC 是矩阵,而 k 是常量。

克罗内克积不符合交换律:通常,AB 不同于 BA

ABBA是排列等价的,也就是说,存在排列矩阵PQ,使得

如果AB是方块矩阵,则ABBA甚至是排列相似的,也就是说,我们可以取P = QT

混合乘积性质

如果ABCD是四个矩阵,且矩阵乘积ACBD存在,那么:

这个性质称为“混合乘积性质”,因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出,A B可逆当且仅当AB是可逆的,其逆矩阵为:

克罗内克和

如果An × n矩阵,Bm × m矩阵,表示k × k单位矩阵,那么我们可以定义克罗内克和为:

假设AB分别是大小为nq的方块矩阵。设λ1,……,λnA特征值,μ1,……,μqB的特征值。那么A B的特征值为:

于是可以推出,两个矩阵的克罗内克积的行列式为:

奇异值

如果AB是长方矩阵,那么我们可以考虑它们的奇异值。假设ArA个非零的奇异值,它们是:

类似地,设B的非零奇异值为:

那么克罗内克积A BrArB个非零奇异值,它们是:

由于一个矩阵的秩等于非零奇异值的数目,因此我们有:

与抽象张量积的关系

矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地,如果向量空间VWXY分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye},且矩阵AB分别在恰当的基中表示线性变换S : VXT : WY,那么矩阵AB表示两个映射的张量积ST : VWXY,关于VW的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和XY的类似基。[1]

与图的乘积的关系

两个邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和,则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。参见[2]第96个练习的答案。

转置

克罗内克积转置运算符合分配律:

矩阵方程

克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如,考虑方程AXB = C,其中ABC是给定的矩阵,X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为

这样,从克罗内克积的性质可以推出,方程AXB = C具有唯一的解,当且仅当AB是非奇异矩阵。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).

在这里,vec(X)表示矩阵X的向量化,它是把X的所有列堆起来所形成的列向量

如果把X的行堆起来,形成列向量x,则也可以写为Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。

参考文献

  1. ^ Pages 401–402 of Dummit, David S.; Foote, Richard M., Abstract Algebra 2, New York: John Wiley and Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-36857-1 
  2. ^ D. E. Knuth: "Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms"页面存档备份,存于互联网档案馆), zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 .
  • Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9 .

外部链接

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