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大O符号(英语:Big O notation),又称为渐进符号,是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说,它是用另一个(通常更简单的)函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中,它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项;在计算机科学中,它在分析算法复杂性的方面非常有用。
大O符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼在其1892年的著作《解析数论》(Analytische Zahlentheorie)首先引入的。而这个记号则是在另一位德国数论学家爱德蒙·兰道的著作中才推广的,因此它有时又称为兰道符号(Landau symbols)。代表“order of ...”(……阶)的大O,最初是一个大写希腊字母“Ο”(omicron),现今用的是大写拉丁字母“O”。
大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子,解决一个规模为的问题所花费的时间(或者所需步骤的数目)可以表示为:。当增大时,项将开始占主导地位,而其他各项可以被忽略。举例说明:当,项是项的1000倍大,因此在大多数场合下,省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。
进一步看,如果我们与任一其他级的表达式比较,项的系数也是无关紧要的。例如:一个包含或项的表达式,即使,假定,一旦增长到大于1,000,000,后者就会一直超越前者()。
这样,针对第一个例子,大O符号就记下剩余的部分,写作:
或
并且我们就说该算法具有阶(平方阶)的时间复杂度。
大O也可以用来描述数学函数估计中的误差项。例如的泰勒展开:
这表示,如果足够接近于0,那么误差的绝对值小于的某一常数倍。
注:泰勒展开的误差余项是关于一个高阶无穷小量,用小o来表示,即:=,也就是
给定两个定义在实数某子集上的关于的函数和,当趋近于无穷大时,存在正实数,使得对于所有充分大的,都有的绝对值小于等于乘以的绝对值,那么我们就可以说,当时,
也就是说,假如存在正实数和实数0,使得对于所有的,均有:成立,我们就可以认为,。
在很多情况下,我们会省略“当趋近于无限大时”这个前提,而简写为:
此概念也可以用于描述函数在接近实数时的行为,通常。当我们说,当时,有,也就相当于称,当且仅当存在正实数和实数,使得对于所有的,均有成立。
如果当和足够接近时,的值仍不为0,这两种定义就可以统一用上极限来表示:
在具体的运用中,我们不一定使用大O符号的标准定义,而是使用几条简化规则来求出关于函数的大O表示:
比如,使,我们想要用大O符号来简化这个函数,来描述接近无穷大时函数的增长情况。此函数由三项相加而成,,和。由于增长最快的是这一项(因为阶最高,在x接近无穷大时,其对和的影响会大大超过其余两项),应用第一条规则,保留它而省略其他两项。对于,由两项相乘而得,和;应用第二条规则,是无关x的常数,所以省略。最后结果为,也即。故有:
我们可以将上式扩展为标准定义形式:
可以(粗略)求出和的值来验证。使:
故可以为13。故两者都存在。
下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于趋近于无穷大的情况下,增长得慢的函数列在上面。是一个任意常数。
大O是最经常使用的比较函数的渐近符号。
符号 | 定义 |
---|---|
渐近上限 | |
Asymptotically negligible渐近可忽略不计() | |
渐近下限(当且仅当) | |
Asymptotically dominant渐近主导(当且仅当) | |
Asymptotically tight bound渐近紧约束(当且仅当且) |
大O符号经常被误用:有的作者可能会使用大O符号表达大Θ符号的含义。因此在看到大O符号时应首先确定其是否为误用。
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