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平方根

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算术平方根的数学表示式
算术平方根的数学表示式

数学中,一个数平方根指的是满足的数,即平方结果等于的数。例如,4和-4都是16的平方根,因为

任意非负实数都有唯一的非负平方根,称为算术平方根主平方根(英语:principal square root),记为,其中的符号√称作根号。例如,9的算术平方根为3,记作 ,因为并且3非负。被求平方根的数称作被开方数(英语:radicand),是根号下的数字或者表达式,即例子中的数字9。

正数有两个互为相反数的平方根:正数与负数,可以将两者一起记为

负数的平方根在复数系中有定义。而实际上,对任何定义了开平方运算的数学对象都可考虑其“平方根”(例如矩阵的平方根)。

历史

耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289英语YBC 7289是一块泥板,制作于前1800年前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形,标注了十六进制数字 1;24,51,10。[1]十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296,精确到了小数点后5位(1.41421356...)。

莱因德数学纸草书大约成书于前1650年,内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。[2]

古印度的《绳法经》大约成书于前800年前500年之间,书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。

古希腊的《几何原本》大约成书于前380年,书中还阐述了如果正整数不是完全平方数,那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个正数的比值表示的数(无法写作m/n,其中mn是整数)。[3]

中国的《算数书》成书于汉朝(约前202年前186年之间),书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。

古代未有划一的平方根符号时,人们通常使用他们语言内开方这个字的首个字母的变型作为开方号。

拉丁语中的latus(正方形边)的首个字母“L”受不少中世纪的欧洲人采用;亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica则用横线当成latus的简写,在要被开方的数下画一线。

最有影响的是拉丁语的radix(平方根),1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜划,像P和x的合体);(没有上面的横划)是由克里斯托费尔·鲁登道夫在1525年的书Coss首次使用,据说是小楷r的变型;后来数学家笛卡尔给其加上线括号,但与前面的方根符号是分开的(即“√  ̄”),因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶,数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(当根指数为2时,省略不写。)。从而形成了现在人们熟知的开方运算符号

实数的平方根

的平方根亦可用指数表示,如:

绝对值可用的算数平方根表示:

正数的平方根

函数
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\sqrt {x))}
  
图,半抛物线与垂直准线。
函数图,半抛物线与垂直准线。

若正整数平方数,则其平方根是整数。若正整数不是平方数,则其平方根是无理数

对于正数,以下式成立:

负数的平方根

负数的平方根在复数范围内同样有定义。

负数有两个平方根,它们为一对共轭纯虚数

虚数单位可将负数的平方根表示为

,其中

例如-5的平方根有两个,它们分别为

对于负数,以下式成立:

平方根函数

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负数与复数的平方根

正数和负数的平方都是正数,0的平方是0,因此负数没有实数平方根。然而,我们可以把我们所使用的数字集合扩大,加入负数的平方根,这样的集合就是复数。首先需要引入一个实数集之外的新数字,记作(也可以记作,比如电学场景中一般表示电流),称之为虚数单位,定义即为,故是-1的平方根,而且,所以也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是,如果是任意非负实数,则的算术平方根就是:

之所以等式右侧(包括其对应的负值)是的算术平方根,是因为:

对于任何一个非零的复数都存在两个复数使得

虚数的算术平方根

复数平面中,
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
的两个平方根
复数平面中,的两个平方根

虚数的算术平方根可以根据以下公式计算:

这个公式可以通过用代数方法推导,只需找到特定的实数,满足

就可以得到方程组

的解:

其中,算术平方根即为

这个公式还可以通过棣莫弗公式得到,设

就可以推出

复数的算术平方根

极坐标下,复数
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
的几个方根
极坐标下,复数的几个方根

首先,我们将复数 看作是平面上的点,即笛卡尔坐标系中的点。这个点也可以写作极坐标,其中,是该点到坐标原点的距离,则是从原点到该点的直线与实数坐标轴(轴)的夹角。复分析中,通常把该点记作。如果

那么我们将的算术平方根定义为:

因此,平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。的泰勒级数也适用于复数

上面的公式还可以用三角函数的形式表达:

代数公式

如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z,其算术平方根可以使用如下公式:[4][5]

其中,方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同(为0时取正);主值英语Principal value实部永远非负。

在虚数里,平方根函数的值不是连续的,以下等式不一定成立:

所以这是错误的:

多项式的平方根

例:若

2的算术平方根

数学史中,最重要的平方根可以说是,它代表边长为1的正方形对角线长,是第一个公认的无理数,也叫毕达哥拉斯常数,其值到小数点14位约为1.4142135623731。

是无理数,可由归谬法证明:

  1. 有理数,可表示为,其中互素之正整数。
  2. 因为,故是2的倍数,也是2的倍数,记为,其中为正整数。
  3. 但是,故是2的倍数,也是2的倍数。
  4. 依上两式,都是2的倍数,和为互素之正整数的前题矛盾。依归谬法,得证不是有理数,即是无理数。

计算方法

中算开方

北宋贾宪增乘开平方法
北宋贾宪增乘开平方法

九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法明代数学家王素文,程大位发明珠算开平方法,而朱载堉算学新说》首创用81位算盘开方,精确到25位数字[6]

长除式算法

长除式算平方根的方式也称为直式开方法,原理是

  1. 首先将要开平方根的数从小数点分别向右及向左每两个位一组分开,如98765.432内小数点前的65是一组,87是一组,9是一组,小数点后的43是一组,之后是单独一个2,要补一个0而得20是一组。如1 04.85 73得四组,顺序为1' 04. 85' 73'。
  2. 将最左的一组的数减去最接近又少于它的平方数,并将该平方数的开方(应该是个位数)记下。
  3. 将上一步所得之差乘100,和下一组数加起来。
  4. 将记下的数乘20,然后将它加上某个个位数,再乘以该个个位数,令这个积不大于但最接近上一步所得之差,并将该个个位数记下,且将上一步所得之差减去所得之积。
  5. 记下的数一次隔两位记下。
  6. 重复第3步,直到找到答案。
  7. 可以在数字的最右补上多组的00'以求得理想的精确度为止。

下面以为例子:

四舍五入得答案为14.14。

事实上,将算法稍作改动,可以开任何次方的根,详见n次方算法。

利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下:

1
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
2
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
3
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
4
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

牛顿法

如果要求的平方根,选取

例子:求至6位有效数字

因此.

连分数

平方根可以简便地用连分数的形式表示,关于连分数请见连分数,其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为:




















连分数部分均循环,省略号前为2或4个循环节。

巴比伦方法

巴比伦求平方根的算法实际上很简单:(假设要求一个数N的平方根)

  1. 预测一个平方根,初始另一个值,且
  2. 求预测值与初始值的均值:
  3. 比较的差值是否达到精度,如果无,继续步骤

重复的算术运算

这个方法是从佩尔方程演变过来的,它通过不断减去奇数来求得答案。

尺规作图

问题

给定线段AB和1,求一条长为的线段。

解法

  1. 画线AB,延长BAC使
  2. BC的中点为圆心,OC为半径画圆
  3. ABC的垂直线,垂直线和圆弧交于DAD即为所求之长度

证明

将整个过程搬到直角坐标上,已知AC=1,设

  • O=
  • AB=
  1. 直径为BC的圆就是(圆的方程:)(其中表示半径。)
  2. A,D所在的x坐标)代入上面的方程
  3. 解方程,得

另也可参见射影定理

射影定理(图)
射影定理(图)

参见

外部链接

参考资料

  1. ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. 
  2. ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
  3. ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3. 
  4. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始内容存档于2016-04-23). , Section 3.7.27, p. 17 互联网档案馆存档,存档日期2009-09-10.
  5. ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始内容存档于2016-04-23). 
  6. ^ 劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O
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