选择公理
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选择公理(英语:Axiom of Choice,缩写AC)是数学中的一条集合论公理。这条公理声明,对所有非空指标集族,总存在一个索引族,对每一个,均有。选择公理最早于1904年,由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成[1]。
非正式地说,选择公理声明:给定一些盒子(可以是无限个),每个盒子中都含有至少一个小球,那么可以作出这样一种选择,使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理;尤其是在“盒子个数有限”和“存在具体的选择规则”(当每个盒子都恰好只有一个小球具有某项特征)这两种情况下。关于“存在具体的选择规则”可以透过以下例子理解:假设有许多(甚至是无限)双鞋子,则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择,由于在鞋子之中“存在具体的选择规则”(左边的鞋子不同于右边的鞋子),故不需要选择公理,仍可做出有效的选择。然而,假设有无限双袜子,且每双袜子都没有可区分的特征,在这种情况下,有效的选择只能通过选择公理得到。
尽管曾具有争议性,选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着[2],例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)。数学家们使用选择公理的原因是,有许多被普遍接受的数学定理,比如是吉洪诺夫定理,都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理,例如决定公理。
在一些构造性数学的理论中会避免选择公理的使用,不过也有的将选择公理包括在内。