在数学中,连分数或繁分数即如下表达:
这里的是某个整数,而所有其他的数都是正整数,可依样定义出更长的表达式。如果部分分子(partial numerator)和部分分母(partial denominator)允许假定任意的值,在某些上下文中可以包含函数,则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候,可称它为简单或正规连分数,或称为是规范形式的。
连分数常用于无理数的逼近,例如:
由此得到的渐近分数:
- 、…
由此得到黄金分割的渐近分数:
- 、…
- 注意将上述系列的分母1,1,2,3,……等数依序排列均可得到斐波那契数列。
由此得到圆周率的渐近分数(约率)、(密率)、、…
数学上可以证明,由(狭义)连分数得到的渐近分数,在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中,其值是最接近精确值的近似值。
研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。
多数人熟悉实数的小数表示:
这里的可以是任意整数,其它都是的一个元素。在这种表示中,例如数被表示为整数序列。
这种小数表示有些问题。例如,在这种情况下使用常数10是因为我们使用了10进制系统。我们还可以使用8进制或2进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如,数被表示为无限序列。
连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如,约为4.4624。近似为4,而实际上比4多一点,约为。但是在分母中的2是不准确的;更准确的分母是比2多一点,约为,所以近似为。但是在分母中的6是不准确的;更准确分母是比6多一点,实际是。所以实际上是。这样才准确。
去掉表达式中的冗余部分可得到简略记号。
实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质:
- 一个有理数的连分数表示是有限的。
- “简单”有理数的连分数表示是简短的。
- 任何有理数的连分数表示是唯一的,如果它没有尾随的1。()
- 无理数的连分数表示是唯一的。
- 连分数的项会循环,当且仅当它是一个二次无理数(即整数系数的二次方程的实数解)的连分数表示[1][2]。
- 数x的截断连分数表示很早产生x的在特定意义上“最佳可能”的有理数逼近(参阅下述定理5推论1)。
最后一个性质非常重要,且传统的小数点表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近,但通常不是非常好的逼近。例如,截断在各种位置上产生逼近比,如、和。但是明显的最佳有理数逼近是“”自身。的截断小数表示产生逼近比,如和。的连分数表示开始于。截断这个表示产生极佳的有理数逼近3、、、、、...。和的分母相当接近,但近似值的误差是远高于的19倍。作为对的逼近,比3.1416精确100倍。
考虑实数。设是的整数部分,而是它的小数部分。则r的连分数表示是,这里的“…”是的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。
要计算实数的连分数表示,首先写下的整数部分(下取整),然后从减去这个整数部分。如果差为0则停止;否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止,当且仅当是有理数。
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找出3.245的连分数
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停止
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3.245的连分数是
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数3.245还可以表示为连分数展开;参见下面的有限连分数。
这个算法适合于实数,但如果用浮点数实现的话,可能导致数值灾难。作为替代,任何浮点数是一个精确的有理数(在现代计算机上分母通常是2的幂,在电子计算器上通常是10的幂),所以欧几里得算法的变体可以用来给出精确的结果。
可以把连分数简写作:
或者,用Pringsheim的记法写作:
还有一个有关的记法:
有时使用尖括号,如:
在使用尖括号的时候,分号是可选的。
还可以定义无限简单连分数为极限:
对于正整数a1, a2, a3 ...的任意选择,皆存在此一极限。
或者可以用高斯的记法
所有有限连分数都表示一个有理数,而所有有理数都可以按两种不同的方式表示为有限连分数。这两种表示除了最终项之外都是一致的。在较长的连分数表示,其最终项是1;较短的表示去掉了最后的1,而向新的终项加1。在短表示中的最终项因此大于1,如果短表示至少有两项的话。其符号表示:
例如:
有理数的连分数表示和它的倒数除了依据这个数小于或大于1而分别左移或右移一位以外是相同的。换句话说,和互为倒数。这是因为如果是整数,接着如果,则且,而且如果,则且带有最后的数生成对和它的倒数是同样的的连分数的余数。
例如: