σ环

σ环 （英语：Sigma ring），是指在可列并运算和相对补集运算下封闭的非空集合。

定义

设 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是非空集合。若 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 满足下列性质，则称其为σ环：

1. 对可列并运算封闭： ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$，若对一切 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 满足${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$
2. 对相对补集运算封闭： ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$，若 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

性质

1. σ环对可列交运算封闭：$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$其中${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 中的元素。这是由于：$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right)}$$

2. 一切σ环都是δ环，但并非所有δ环都是σ环。

相关概念

如果将σ环定义中的可列并运算弱化为有限并运算，即对任意${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ 满足 ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$，则可推出 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是环（但不是σ环）。

参考文献