三角积分

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分，可在三角函数积分表中找到。

Si(x)（红）和Ci(x)（蓝）

正弦积分

主条目：Si 函数

有两种不同的正弦积分：

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$的原函数，当${\displaystyle x=0\,}$时为零；${\displaystyle {\rm {si}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}$的原函数，当${\displaystyle x=\infty }$时为零。我们有：

${\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}$

注意到${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。

余弦积分

有两种不同的余弦积分：

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

其中${\displaystyle \gamma }$是欧拉-马斯刻若尼常数.

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)\,}$是${\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}}$的原函数，当${\displaystyle x\to \infty }$时为零。我们有：

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

双曲正弦积分

主条目：双曲正弦积分函数

${\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}$

双曲余弦积分

主条目：Chi 函数

${\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}$

展开式

有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

渐近展开式

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}$

这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。

收敛级数

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$

这些级数对于任何复数的${\displaystyle ~x~}$都是收敛的，但当${\displaystyle |x|\gg 1}$时，计算非常缓慢，也不是很精确。

与指数积分的关系

函数

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$

称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系：

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}$

参见

• 指数积分
• 对数积分

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）（页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • 第5.2节，正弦和余弦积分（页面存档备份，存于互联网档案馆）