上界和下界

设${\displaystyle (A,\leq )}$为一个偏序集，若存在${\displaystyle y\in A}$，能满足${\displaystyle \forall x\in B\subseteq A}$都有${\displaystyle x\leq y}$，则${\displaystyle y}$称作集合${\displaystyle B}$的上界，若存在${\displaystyle z\in A}$，能满足${\displaystyle \forall x\in B\subseteq A}$都有${\displaystyle x\geq z}$，则${\displaystyle z}$称作${\displaystyle B}$的下界。

例如在实变数中，若存在一个实数${\displaystyle b}$，能满足${\displaystyle \forall x\in S\subseteq R}$都有${\displaystyle x\leq b}$，则${\displaystyle b}$即为集合${\displaystyle S}$的上界，若存在一个实数${\displaystyle c}$，能满足${\displaystyle \forall x\in S\subseteq R}$都有${\displaystyle x\geq c}$，则${\displaystyle c}$即为集合${\displaystyle S}$的下界。

性质

连续性公理：在非空实数集中，若含上界，则必含最小上界（上确界）；若含下界，则必存在最大下界（下确界)。^[1]