不可约元素

不可约元素是抽象代数中的名词，是指在整环中一个非零、非单位的元素，而且也无法表示为二个非单位元素的乘积。

不可约元素和质元素的关系

不可约元素和质元素不同，交换环${\displaystyle R}$内的非零、非单位元素${\displaystyle a}$为质元素，表示若在交换环${\displaystyle R}$内存在${\displaystyle b}$及${\displaystyle c}$，使得${\displaystyle a|bc}$，则${\displaystyle a|b}$或${\displaystyle a|c}$必定有一个成立。

在整环中，每一个质元素都是不可约元素^[1][2]，但一般而言，不可约元素不会是质元素。只有在唯一分解整环（或范围更广的GCD环）中的不可约元素才一定是质元素。

再者，一个用质元素产生的理想为素理想，但由不可约元素产生的理想一般不会是不可约理想（英语：irreducible ideal）。不过，若${\displaystyle D}$为GCD环，且${\displaystyle x}$为${\displaystyle D}$环中的不可约元素，则产生的理想会是素理想^[3]。

举例

在二次整数环（英语：quadratic integer ring）${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$中，可以用范数证明 3 是不可约元素。不过，3 不是质元素，因为

${\displaystyle 3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,}$

但 ${\displaystyle 3}$ 无法整除 ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$，也无法整除 ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$。^[4]

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