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不寻常数

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不尋常數
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不寻常数(英语:unusual number)是指一整数n的最大素因数大于

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古氏积木说明10是不寻常数,10的最大素因数是5,大于√10 ≈ 3.16

Daniel H Greene和高德纳在《Mathematics for the Analysis of Algorithms》一书中的问题中有类似的定义,但其定义是最大素因数大于等于平方根[1],而书中没有说明这类的数字不寻常的原因。

所有素数均为不寻常数。针对素数,其小于的倍数,也就是,都会是不寻常数。

k-光滑数是指其最大素因数小于或等于k,因此若整数n不是光滑数,此整数就是不寻常数。

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例子

前几个不寻常数为:

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67.... (OEIS数列A064052

前几个非素数的不寻常数为:

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102.... (OEIS数列A063763
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分布

若用u(n)表示小于等于n的整数中的不寻常数个数,u(n)和n有以下的关系:

n u(n) u(n) / n
10 6 0.6
100 67 0.67
1000 715 0.72
10000 7319 0.73
100000 73322 0.73
1000000 731660 0.73
10000000 7280266 0.73
100000000 72467077 0.72
1000000000 721578596 0.72

数学家理查德·施罗培尔英语Richard Schroeppel在1972年证明了若任意选择整数,选到不寻常数的渐进概率ln(2),也就是说:

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参考资料

外部链接

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