不交集

在数学里，若两个集合没有共同的元素，称为不交（disjoint）。例如${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{4,5,6\}}$为不交集（disjoint sets）。

两个互不相交的集合（disjoint sets）。

解释

从定义说，两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为不交，若其交集为空集，即^[1]

${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$

此一定义可推广至集族上。若然一个集族里的任意两个相异集合均为不交，则称之为两两不交。

形式上，设${\displaystyle I}$为索引集，且对${\displaystyle I}$内的任一元素${\displaystyle i}$，设${\displaystyle A_{i}}$为一集合。然后${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$为两两不交，当对任何于${\displaystyle I}$内的${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$且${\displaystyle i\neq j}$，有

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$

举例来说，${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\},\dots \}\}}$便为两两不交。若${\displaystyle \{A_{i}\}}$为两两不交，则${\displaystyle \{A_{i}\}}$中各集合的交集为空集：

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing }$

相反则不必为真：${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$内各集合的交集为空集，但非两两不交。事实上，其内的集合甚至没有两个是不交集。

集合划分${\displaystyle X}$是由一群两两不交的非空集合${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$组成的集族。

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$