中线

中线或重线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。

图中${\displaystyle \triangle ABC}$和中线${\displaystyle AD}$

性质1

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

证明

考虑三角形 ${\displaystyle ABC}$。设${\displaystyle D}$为${\displaystyle {\overline {AB}}}$的中点，${\displaystyle E}$为${\displaystyle {\overline {BC}}}$的中点，${\displaystyle F}$为${\displaystyle {\overline {AC}}}$的中点，${\displaystyle O}$为重心。

根据定义，${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$，因此${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]}$，其中${\displaystyle [ABC]}$表示三角形ABC的面积。

我们有：

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

因此，${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$且${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$。

由于${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$，所以${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$。 同理，也可以证明${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$。

性质2

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 中，连接角 ${\displaystyle A}$ 的中线记为${\displaystyle m_{a}}$，连接角 ${\displaystyle B}$ 的中线记为${\displaystyle m_{b}}$，连接角 ${\displaystyle C}$ 的中线记为${\displaystyle m_{c}}$，它们长度的公式为：

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}}$

${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$

证明

在 ${\displaystyle \triangle ABD}$ 中，${\displaystyle AD=m_{a}}$

${\displaystyle (m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD}$（余弦定理）

以 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ 表示${\displaystyle \cos \angle ABD}$

${\displaystyle i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$ & ${\displaystyle BD={\frac {a}{2}}}$

把以上两等式代入原式，

${\displaystyle i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}$

${\displaystyle =(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})}$

${\displaystyle ={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}}$

${\displaystyle ={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}$

∴${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$

同理，可证得其他二式

Q.E.D.

参见

• 中线定理
• 角平分线长公式