主理想环

在数学中，主理想环是使得每个理想均可由单个元素生成的环。

如果一个主理想环同时也是整环，则称之主理想整环（常简写为 PID）。

例子

• 整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是主理想域，更一般地说，欧几里德环恒为主理想环。
• 域上的（单变元）多项式环是主理想环。
• 高斯整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 是主理想环。
• 艾森斯坦整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ 是主理想环，其中 ω 为任一非 ${\displaystyle 1}$ 的三次单位根。
• 环 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]}$ 非主理想环：可以证明理想 ${\displaystyle (2,{\sqrt {5}})}$ 无法由单个元素生成。