乘法原理

乘法原理^[1]是组合计数的基本计数原理。简而言之，“若有${\displaystyle a}$种方法做某事，${\displaystyle b}$种方法做另一事，则合共有${\displaystyle a\cdot b}$种方法做此两件事。”^[2][3]

集合${\displaystyle \{A,B\}}$之元素，与集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$的元素可以组成${\displaystyle 6}$种不同组合。

举例

设在港式粉面店要点一碗汤粉面，主食有三种：粗面、幼面、河粉，要选恰好一款；而配料有两种选择：云吞、牛腩，亦要选恰好一款。问可选配搭数为何。

使用乘法原理，答案是${\displaystyle 3\times 2=6}$，总共有六种配搭。

抽象一点，考虑从${\displaystyle A,B,C}$三件物件选一，再从${\displaystyle X,Y}$两件物件选一。使用乘法原理，可知总共有${\displaystyle 3\times 2=6}$种选法。本例中，可以穷举所有可能性验证：可选的组合有${\displaystyle AX,AY,BX,BY,CX,CY}$，共六种。

上述例子中，集合${\displaystyle \{A,B,C\}}$和${\displaystyle \{X,Y\}}$不交，即两次选择中，没有选项重复出现，但这并非必要，乘法原理即使两次选择的选项有相同，仍然成立。从${\displaystyle \{A,B,C\}}$选一个元素，然后再选一次，效果等同选取了一个有序对，其两个分量都在${\displaystyle \{A,B,C\}}$中，选法的总数为${\displaystyle 3\times 3=9}$。

应用

集合论中，乘法原理可以视为基数乘积的定义。^[2]对于集合${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$，以${\displaystyle |S_{i}|}$表示${\displaystyle S_{i}}$的元素个数（基数），则有

${\displaystyle |S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|,}$

其中${\displaystyle \times }$表示笛卡儿积。${\displaystyle S_{i}}$可以是无穷集，甚至可以考虑无穷多个集合的乘积，参见基数和选择公理。

参见

• 加法原理是另一个基本计数原理。简而言之，“若有${\displaystyle a}$种方法做某事，${\displaystyle b}$种方法做另一事，但只能选其一，则合共有${\displaystyle a+b}$种选择。”^[4]
• 其他组合技巧