二侧锥三角柱

二侧锥三角柱（英文：Biaugmented triangular prism）属于约翰逊多面体之一（J₅₀）^[1]。形如其名地，它可由两个正四角锥（J₁）以底面黏合在一个正三角柱的两个侧面上组合而成，这与侧锥三角柱（J₄₉）和三侧锥三角柱（J₅₁）有着极为相似的构造。这92种约翰逊多面体最早在1966年由诺曼·约翰逊命名并予以观察描述。^[2]在化学中，部分分子呈二侧锥三角柱形状，例如N₂H₆ZrF₆。^[3]

二侧锥三角柱

类别	约翰逊多面体 J49 - J50 - J51
对偶多面体	见#对偶多面体一节
识别
名称	二侧锥三角柱 Biaugmented triangular prism
别名	二侧锥三角柱
参考索引	J50
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	bautip
性质
面	11
边	17
顶点	8
欧拉特征数	F=11, E=17, V=8 （χ=2）
组成与布局
组合几何体种类	2个四角锥 1个三角柱
结合方式	四角锥的底面与三角锥侧面贴合
面的种类	10个三角形 1个正方形
顶点的种类	2个(35) 2个(34) 4个(33.4)
对称性
对称群	C2v群
特性
凸
图像
见#对偶多面体一节 （对偶多面体） （展开图）

性质

二侧锥三角柱共由11个面、17条边和8个顶点组成。^[4]在其11个面中有10个三角形面和1个正方形面。二侧锥三角柱可以视为三角柱与2个正四角锥的组合^[5]:86，因此在二侧锥三角柱的10个三角形面又可以分成两组，一组为侧锥的侧面，每个侧锥有4个正三角形，共8个正三角形；以及三角柱的两个三角形底面。^[6]

体积与表面积

若二侧锥三角柱边长为单位长，则其体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：^[6]

${\displaystyle V={\frac {4{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{12}}\approx 0.904417}$^[6]

${\displaystyle A=1+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\approx 5.33013}$^[7]

顶点坐标

若二侧锥三角柱边长为单位长，则其顶点坐标为：^[8]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{6}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{4}},\,0,\,-{\frac {3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{12}}\right)}$

二面角

二侧锥三角柱有5种二面角，其中分别是2种三角形-正方形交角和3种三角形-三角形交角。^[9]

其中一种三角形-正方形交角来自于三角柱底面和侧面的交棱，二面角为90度^[9]；另一种三角形-正方形交角则来自侧锥侧面的三角形与三角柱侧面的交棱，其角度约为114.73561度：

${\displaystyle \cos ^{-1}{\left(-{\frac {3{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)}\approx 114.73561^{\circ }}$^[6]

另外三个二面角分别为两侧锥侧面的交棱约169.47122度、侧锥侧面与三角柱底面的交棱约144.73561度、以及同个侧锥中两侧面的交棱约109.47122度。^[9]

两侧锥侧面棱的交角${\displaystyle =\cos ^{-1}{\left(-{\frac {1+2{\sqrt {6}}}{6}}\right)}\approx 169.47122^{\circ }}$^[6]

侧锥侧面与三角柱底面棱的交角${\displaystyle =\cos ^{-1}{\left(-{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)}\approx 144.73561^{\circ }}$^[6]

同个侧锥中两侧面棱的交角${\displaystyle =\cos ^{-1}{\left(-{\frac {1}{3}}\right)}\approx 109.47122^{\circ }}$^[6]

对偶多面体

根据对偶多面体的定义，多面体的对偶多面体其面将会是原始多面体的顶点图，^[10]而二侧锥三角柱的由6个四面角（其中4个是3个三角形和1个正方形的公共角、2个是4个三角形的公共角）和2个五面角（3个三角形的公共角）组成^[11]，因此对应的对偶多面体会有6个四边形和2个五边形面，为截去2个非顶角顶点的双三角锥。

• 
  二侧锥三角柱
• 
  二侧锥三角柱的对偶多面体

相关多面体

二侧锥三角柱是2个侧面被四角锥取代的三角柱。其他也是侧面被取代的三角柱结构有侧锥三角柱和三侧锥三角柱。^[5]:86

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  侧锥三角柱
• 
  二侧锥三角柱
• 
  三侧锥三角柱

二侧锥三角柱是底面为三角形之柱体对应的二侧锥柱体，其他的二侧锥柱体有：

二侧锥柱体

侧锥方式	3	4	5	6	7	8
邻
	二侧锥三角柱	邻二侧锥四角柱	邻二侧锥五角柱	邻二侧锥六角柱	邻二侧锥七角柱	邻二侧锥八角柱
间	-	-
			间二侧锥五角柱	间二侧锥六角柱	间二侧锥七角柱	间二侧锥八角柱
对	-		-		-
		对二侧锥四角柱		对二侧锥六角柱		对二侧锥八角柱
1,4	-	-	-	-
					1,4-二侧锥七角柱	1,4-二侧锥八角柱

参见

• 约翰逊多面体
• 正四角锥
• 侧锥三角柱
• 三侧锥三角柱
• 多面体