五维超正方体

五维超立方体（Penteract）或称正十超胞体（Decateron）是3个五维凸正多超胞体之一，是五维的超方形，四维超正方体、三维正方体、二维正方形的五维类比。由10个四维超立方体胞、40个正方体胞、80个正方形面、80条棱、32个顶点组成。

五维超正方体 （10超胞体）
类型	五维凸正多胞体
家族	立方形
维度	5
对偶多胞形	五维正轴体
类比	正方体
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	pent
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	{4,3,3,3} {4,33} {4,3,3}×{} {4,3}×{4} {4,3}×{}×{} {4}×{4}×{} {4}×{}×{}×{} {}×{}×{}×{}×{}
性质
四维胞	10 {4,3,3}
胞	40（4.4.4）
面	80 {4}
边	80
顶点	32
特殊面或截面
皮特里多边形	十边形
组成与布局
顶点图	正五胞体
对称性
对称群	BC5, [3,3,3,4]
特性
凸

几何性质

五维超正方体存在于五维欧几里得空间中，其32个顶点有如下形式：

（±1,±1,±1,±1,±1）

五维超正方体是它们的凸包。它包含了所有坐标值绝对值都小于等于1的所有点。在它的顶点处有5条棱相交，应此它的顶点图是正五胞体，在它的棱处有4个立方体维脊相交，应此它的棱图是正四面体。它有施莱夫利符号{4,3,3,3}，考斯特-迪肯符号，它的对偶多超胞体是正三十二超胞体（Triacontaditeron），也叫五维正轴体（Pentacross，5-orthoplex）。

对称群构造

作为五维的立方形，一个五维凸正多超胞体，它具有BC₅对称群构造，对应施莱夫利符号{4,3,3,3}，考斯特-迪肯符号。同时，它可被看作是四维超正方体的棱柱，对应施莱夫利符号{4,3,3}×{}，考斯特-迪肯符号。并且，它还是正方形和立方体的乘积，在3个维度有立方体的对称性BC₃，而在另外两个维度表现出正方形的对称性BC₂，施莱夫利符号{4,3}×{4}，考斯特-迪肯符号。

图像

五维超立方体可以以自身的BC_n（n≤5）对称性被平行投影到2维平面上：

正交投影

考克斯特平面（英语：Coxeter plane）	B5	B4 / D5	B3 / D4 / A2
图像
二面体群	[10]	[8]	[6]
考克斯特平面	使棱在前	B2	A3
图像
二面体群	[2]	[4]	[4]

更多正交投影

斜线架投影

B5考克斯特平面

Graph

顶点—棱图象。

透视投影

五维超立方体的5D到4D施莱尔投影的4D到3D球极投影的3D到2D透视投影

在五维空间旋转的透视投影

相关链接

• 四维超正方体
• 五维空间

参考文献

• H.S.M.考克斯特：
  • Coxeter, Regular Polytopes,（3rd edition, 1973）, Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions（n≥5）
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）
    • （Paper 22）H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • （Paper 23）H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • （Paper 24）H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• 诺曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)） Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D.（1966）
• Klitzing, Richard. 5D uniform polytopes (polytera) o3o3o3o4x - pent. bendwavy.org.
• 埃里克·韦斯坦因. Hypercube. MathWorld.
• Olshevsky, George, Measure polytope at Glossary for Hyperspace.
• Multi-dimensional Glossary: hypercube（页面存档备份，存于互联网档案馆） Garrett Jones

五维正多胞体
五维正六胞体	五维超正方体	五维正三十二胞体
{3,3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4}