代数内部

作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部(英语：Algebraic interior)或径向核(英语：Radial kernel)是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。^[1]代数内部的元素通常被称为内点(英语：Internal point)。 ^[2][3]

正式地，如果${\displaystyle X}$是线性空间，则${\displaystyle A\subseteq X}$的代数内部是

${\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],x_{0}+tx\in A\right\}}$。^[4]

一般来说，${\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$，但如果${\displaystyle A}$是一个凸集，则有${\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$。假设${\displaystyle A}$是凸集，则如果${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1}$，就有${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)}$。

例子

如果${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$，则有${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$，但${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$且${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$。

性质

令${\displaystyle A,B\subset X}$则：

• ${\displaystyle A}$是吸收的当且仅当${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$ ^[1]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}$^[5]
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$如果${\displaystyle B=\operatorname {core} B}$^[5]

和内部的关系

令${\displaystyle X}$是拓扑向量空间，${\displaystyle \operatorname {int} }$表示内部算子，且${\displaystyle A\subset X}$，则有：

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• 如果${\displaystyle A}$是非空凸集且${\displaystyle X}$ 有限维的，则有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[2]
• 如果${\displaystyle A}$是有非空内部的凸集，则有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[6]
• 如果${\displaystyle A}$是闭凸集且${\displaystyle X}$是完备度量空间，则有${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$^[7]

另请参阅

• 内部
• 相对内部（英语：Relative interior）
• 拟相对内部（英语：Quasi-relative interior）
• 有序单位（英语：Order unit）
• 边界点