伪黎曼流形

介绍

流形

在微分几何中，可微流形是局部类似于欧氏空间的空间。在n维欧几里得空间中，任何一点都可以用n 个实数指定。这些被称为点的坐标。

n维可微流形是n维欧氏空间的概括。在流形中可能只能局部定义坐标。这是通过定义坐标补丁来实现的：可以映射到n维欧几里得空间的流形子集。

有关更多详细信息，请参阅流形、可微流形、坐标补丁。

切空间和度量张量

与每个点相关 $p$ 在一个 $n$ 维可微流形 $M$ 是一个切空间（表示为 $T_{p}M$ ）。这是一个 $n$ 维向量空间，其元素可以被认为是通过点的曲线的等价类 $p$ 。

度量张量是一种非退化、光滑、对称、双线性映射，它为流形的每个切空间中的切向量对分配一个实数。将度量张量表示为 $g$ 我们可以将其表达为

g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .

该映射是对称且双线性的，因此如果 $X,Y,Z\in T_{p}M$ 是某一点的切向量 $p$ 到流形 $M$ 那么对于任何实数 $a\in \mathbb {R}$ , 我们有

$\,g(X,Y)=g(Y,X)$
$\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

这是非退化的，意味着不存在对所有 $Y\in T_{p}M$ 都适用的非零 $X\in T_{p}M$ $g(X,Y)=0$

Remove ads

度规符号

给定n维实流形上的度量张量g ，与该度量张量相关的二次型q(x) = g(x, x)应用于任何正交基的每个向量都会产生n 个实值。根据西尔维斯特惯性定律，以这种方式产生的正值、负值和零值的数量都是度量张量的不变量，与正交基的选择无关。度量张量的度规符号(p, q, r)给出了这些数字，以相同的顺序显示。非退化度量张量的r = 0且签名可以表示为(p, q) ，其中p + q = n 。

定义

伪黎曼流形(M, g)是可微流形M ，其具有处处非退化、光滑、对称的度量张量g 。

这样的度量称为伪黎曼度量。应用于矢量场，流形上任何一点的标量场值可以是正、负或零。

伪黎曼度量的签名是(p, q) ，其中p和q均为非负。非退化条件与连续性一起意味着p和q在整个流形中保持不变（假设它是连通的）。

洛伦兹流形

洛伦兹流形是伪黎曼流形的一个重要特例，其中度量的符号为(1, n−1) （等价于(n−1, 1) ；参见符号约定）。这样的度量被称为洛伦兹度量。它们以荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹 (Hendrik Lorentz) 的名字命名。

物理学中的应用

洛伦兹流形是继黎曼流形之后伪黎曼流形最重要的子类。它们在广义相对论的应用中很重要。

广义相对论的一个主要前提是，时空可以建模为一个四维洛伦兹流形，其特征为(3, 1) ，或者等效地为(1, 3) 。与具有正定度量的黎曼流形不同，不定签名允许将切向量分类为类时间、零或类空间。当流形具有(p, 1)或(1, q)的签名时，它也是局部（也可能是全局）时间可定向的（参见因果结构）。

伪黎曼流形的性质

就像欧氏空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 可以被认为是黎曼流形的局部模型，闵可夫斯基空间 $\mathbb {R} ^{n-1,1}$ 采用平坦的闵可夫斯基度量是洛伦兹流形的局部模型。同样地，特征为 ( p, q ) 的伪黎曼流形的模型空间是伪欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{p,q}$ ，存在坐标x _i使得

g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}

黎曼几何的一些定理可以推广到伪黎曼情况。特别是，黎曼几何基本定理对所有伪黎曼流形都成立。这使得人们可以谈论伪黎曼流形上的列维-奇维塔联络以及相关的曲率张量。另一方面，黎曼几何中有许多定理在广义情况下不成立。例如，并不是每个光滑流形都允许给定特征的伪黎曼度量；存在某些拓扑障碍。此外，子流形并不总是继承伪黎曼流形的结构；例如，在任何类光曲线上，度量张量都变为零。克利夫顿-波尔环面是紧致但不完备的伪黎曼流形的一个例子，霍普夫-里诺定理不允许黎曼流形具有这种性质。 ^[3]