伯努利不等式

数学中的伯努利不等式指出：对任意整数${\displaystyle n\geq 1}$，和任意实数${\displaystyle x\geq -1}$有：

${\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$；

如果${\displaystyle n\geq 0}$且是偶数，则不等式对任意实数${\displaystyle x}$成立。

可以看到在${\displaystyle n=0,1}$，或${\displaystyle x=0}$时等号成立，而对任意正整数${\displaystyle n\geq 2}$和任意实数${\displaystyle x\geq -1}$，${\displaystyle x\neq 0}$，有严格不等式：

${\displaystyle (1+x)^{n}>1+nx\,}$。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

证明和推广

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当${\displaystyle n=0,1}$，不等式明显成立。假设不等式对正整数${\displaystyle n}$，实数${\displaystyle x\geq -1}$时成立，那么

${\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}$

${\displaystyle =1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x}$。

下面是推广到实数幂的版本：如果${\displaystyle x>-1}$，那么：

若${\displaystyle r\leq 0}$或${\displaystyle r\geq 1}$，有${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$；

若${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$，有${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$。

这不等式可以用导数比较来证明：

当${\displaystyle r=0,1}$时，等式显然成立。

在${\displaystyle (-1,\infty )}$上定义${\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)}$，其中${\displaystyle r\neq 0,1}$， 对${\displaystyle x}$求导得${\displaystyle f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r}$， 则${\displaystyle f'(x)=0}$当且仅当${\displaystyle x=0}$。分情况讨论：

1. ${\displaystyle 0<r<1}$，则对${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle f'(x)<0}$；对${\displaystyle -1<x<0}$，${\displaystyle f'(x)>0}$。因此${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=0}$时取最大值${\displaystyle 0}$，故得${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$。
2. ${\displaystyle r<0}$或${\displaystyle r>1}$，则对${\displaystyle x>0}$，${\displaystyle f'(x)>0}$；对${\displaystyle -1<x<0}$，${\displaystyle f'(x)<0}$。因此${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=0}$时取最小值${\displaystyle 0}$，故得${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$。

在这两种情况，等号成立当且仅当${\displaystyle x=0}$。

相关不等式

下述不等式从另一边估计${\displaystyle (1+x)^{r}}$：对任意${\displaystyle x,{\mbox{ }}r>0}$，都有

${\displaystyle (1+x)^{r}<e^{rx}\,}$。

我们知道${\displaystyle 1+x<e^{x}}$（${\displaystyle x>0}$），因此这个不等式是成立的。