数学中的伯努利不等式指出:对任意整数 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ,和任意实数 x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} 有: ( 1 + x ) n ≥ 1 + n x {\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx} ; 此条目需要扩充。 (2013年8月25日) 此条目没有列出任何参考或来源。 (2013年8月25日) 如果 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 且是偶数,则不等式对任意实数 x {\displaystyle x} 成立。 可以看到在 n = 0 , 1 {\displaystyle n=0,1} ,或 x = 0 {\displaystyle x=0} 时等号成立,而对任意正整数 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 和任意实数 x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} , x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} ,有严格不等式: ( 1 + x ) n > 1 + n x {\displaystyle (1+x)^{n}>1+nx\,} 。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 Remove ads证明和推广 伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当 n = 0 , 1 {\displaystyle n=0,1} ,不等式明显成立。假设不等式对正整数 n {\displaystyle n} ,实数 x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} 时成立,那么 ( 1 + x ) n + 1 = ( 1 + x ) ( 1 + x ) n ≥ ( 1 + x ) ( 1 + n x ) {\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)} = 1 + ( n + 1 ) x + n x 2 ≥ 1 + ( n + 1 ) x {\displaystyle =1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x} 。 下面是推广到实数幂的版本:如果 x > − 1 {\displaystyle x>-1} ,那么: 若 r ≤ 0 {\displaystyle r\leq 0} 或 r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} ,有 ( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx} ; 若 0 ≤ r ≤ 1 {\displaystyle 0\leq r\leq 1} ,有 ( 1 + x ) r ≤ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx} 。 这不等式可以用导数比较来证明: 当 r = 0 , 1 {\displaystyle r=0,1} 时,等式显然成立。 在 ( − 1 , ∞ ) {\displaystyle (-1,\infty )} 上定义 f ( x ) = ( 1 + x ) r − ( 1 + r x ) {\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)} ,其中 r ≠ 0 , 1 {\displaystyle r\neq 0,1} , 对 x {\displaystyle x} 求导得 f ′ ( x ) = r ( 1 + x ) r − 1 − r {\displaystyle f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r} , 则 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 当且仅当 x = 0 {\displaystyle x=0} 。分情况讨论: 0 < r < 1 {\displaystyle 0<r<1} ,则对 x > 0 {\displaystyle x>0} , f ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f'(x)<0} ;对 − 1 < x < 0 {\displaystyle -1<x<0} , f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f'(x)>0} 。因此 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x = 0 {\displaystyle x=0} 时取最大值 0 {\displaystyle 0} ,故得 ( 1 + x ) r ≤ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx} 。 r < 0 {\displaystyle r<0} 或 r > 1 {\displaystyle r>1} ,则对 x > 0 {\displaystyle x>0} , f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f'(x)>0} ;对 − 1 < x < 0 {\displaystyle -1<x<0} , f ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f'(x)<0} 。因此 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x = 0 {\displaystyle x=0} 时取最小值 0 {\displaystyle 0} ,故得 ( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx} 。 在这两种情况,等号成立当且仅当 x = 0 {\displaystyle x=0} 。 Remove ads相关不等式 下述不等式从另一边估计 ( 1 + x ) r {\displaystyle (1+x)^{r}} :对任意 x , r > 0 {\displaystyle x,{\mbox{ }}r>0} ,都有 ( 1 + x ) r < e r x {\displaystyle (1+x)^{r}<e^{rx}\,} 。 我们知道 1 + x < e x {\displaystyle 1+x<e^{x}} ( x > 0 {\displaystyle x>0} ),因此这个不等式是成立的。 Remove adsLoading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads