余代数

在数学中，余代数是带单位元的结合代数的对偶结构，后者的公理由一系列交换图给出，将这些图中的箭头反转，便得到余代数的公理。

余代数的概念可用于李群及群概形等领域中。

定义

形式上来说，域 ${\displaystyle K}$ 上的余代数是一个 ${\displaystyle K}$-向量空间 ${\displaystyle C}$ 及 ${\displaystyle K}$-线性映射 ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$（余乘法）与 ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$（余单位元），使得：

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

等价的说法是：以下图表交换：

在第一个图表中，我们等同了 ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$ 与 ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$；同理，在第二个图表中，我们等同了 ${\displaystyle C}$、${\displaystyle C\otimes K}$ 与 ${\displaystyle K\otimes C}$。

第一个图表是代数乘法结合律的对偶版本，称为余乘法之余结合律。第二个图表是代数单位元的对偶版本。

Sweedler 记法

处理余代数时，以下记法可以大大地简化式子，称为 Sweedler 记法。这套记法在数学界中颇为流行。给定余代数 ${\displaystyle (C,\Delta ,\epsilon )}$ 中的一个元素 ${\displaystyle c}$，存在一族元素 ${\displaystyle c_{(1)}^{i},c_{(2)}^{i}\in C}$，使得

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.}$

在 Sweedler 记法中，上式写作

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

举例明之，余单位元 ${\displaystyle \epsilon }$ 之公理可表成

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;}$

余乘法 ${\displaystyle \Delta }$ 则可表成

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

在 Sweedler 记法中，这些式子都被写作

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

一些作者会省略求和符号，此时 Sweedler 记法表成

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

与

${\displaystyle c=\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;}$

相关文献

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0