值域

在数学中，函数的值域（英语：Range）是由定义域中一切元素所能产生的所有函数值的集合。有时候也称为函数的像。

提示：此条目的主题不是到达域。

给定函数${\displaystyle f:A\rightarrow B}$，集合${\displaystyle f(A)}$被称为是${\displaystyle f}$的值域，记为${\displaystyle R_{f}}$。值域不应跟陪域${\displaystyle B}$相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。

例子

假设函数${\displaystyle f}$为定义在实数上的函数：

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

定义为

${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$

${\displaystyle f}$的陪域为${\displaystyle \mathbb {R} }$，但明显地${\displaystyle f(x)}$不会取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$，即区间${\displaystyle [0,\infty )}$：

${\displaystyle 0\leq f(x)<\infty }$。

求法

基本方法

初等函数的值域求法一般为：

1. 观察法
2. 不等式法
3. 反函数法
4. 复合函数法
5. 配方法
6. 判别式法
7. 图像求值

观察法

例如：${\displaystyle y=3-{\sqrt {x}}}$

由${\displaystyle {\sqrt {x}}\geq 0}$

${\displaystyle \Rightarrow -{\sqrt {x}}\leq 0}$

所以值域为${\displaystyle (-\infty ,3]}$。

不等式法

反函数法

先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如：${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

它的反函数为${\displaystyle x=y^{3}}$

反函数的定义域为：${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

则原函数${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$的值域为：${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

复合函数法

配方法

主条目：配方法

判别式法

图像求值

画出连续函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。

相关条目

• 陪域
• 定义域
• 单射
• 满射
• 双射