偏三角面体

偏三角面体（scalenohedron）^[1] 是指由作为底的锯齿扭歪多边形之顶点与其中心正上方及正下方的两对称顶点相连所形成的立体。 在矿物学中，偏三角面体指上述形状的晶形^[2]，也就是说部分矿物的晶形为偏三角面体，例如方解石^[3]。

偏三角面体

以六方偏三角面体（或称复三方偏三角面体）为例
类别	偏三角面体
性质
面	${\displaystyle {{2}\,{n}}}$
边	${\displaystyle {{3}\,{n}}}$
顶点	${\displaystyle {{n}+{2}}}$
欧拉特征数	F=${\displaystyle {{2}\,{n}}}$, E=${\displaystyle {{3}\,{n}}}$, V=${\displaystyle {{n}+{2}}}$ （χ=2）
组成与布局
面的种类	2n个不等边三角形
对称性
对称群	Dnd, [2+,2n], (2*n), order 4n
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	Dn, [2,n]+, (22n), order 2n
特性
凸、面可递
注：${\displaystyle n}$为底面边数 。

偏三角面体通常以底的边数命名，例如底为六边形的偏三角面体称为六方偏三角面体（hexagonal scalenohedron），由上下各6个共12个不等边三角形组成^[4]:245。 而部分偏三角面体以复偏三角面体的方式存在，即对称性为n边形二面体群的复偏三角面体其底为锯齿扭歪2n边形，这种立体通常命名为复n角偏三角面体或复n方偏三角面体（di-n-gonal scalenohedron）。 在晶体学中，亦有复偏三角面体的晶形，尤其以复二方（didigonal，8个面）和复三方（ditrigonal，12个面）最为常见。^[5][6]

偏三角面体所有面都是全等的不等边三角形，且其为等面图形。其可以视为一种直“对称”的、拥有锯齿扭歪多边形之底的双锥体，也可以视为将每个四边形面各分割成两个不等边三角形的偏方面体。

性质

n方偏三角面体由上下两个顶点、n个底面顶点、2n个面和3n条边组成；而复n方偏三角面体由上下两个顶点、2n个底面顶点、4n个面和6n条边组成；其拓朴结构等价于双2n角锥，但其2n边形的顶点位于两个环上，一个在几何中心之上方、另一个在几何中心之下方。^[5]

“正”直“对称”的复n方偏三角面体（或称复n角偏三角面体）有n个过相对底边中点的两倍旋转对称轴、n个过相对顶边的镜射对称平面、1个过上下两顶点的n倍旋转对称轴和1个过上下两顶点的2n倍旋转反射对称轴（围绕这个轴做1n次瑕旋转立体保持原样）^[6]，对应的对称群为D_nv = D_nd, [2⁺,2n], (2*n)，其阶数为4n阶（如果n为奇数，则存在关于中心的点反演对称性，对应于180°的旋转反射）。

以2n = 2×3为例：

“正”直“对称”的复三方偏三角面体具有3个类似的垂直对称平面，彼此倾斜60°并相交于铅直的3倍旋转对称轴、3个类似的水平2倍旋转对称轴，每个水平2倍旋转对称轴垂直于对称面、点反演对称中心^[7]:577,599和铅直的6倍旋转反射对称轴。

例子

复二方偏三角面体 正方偏三角面体 四方偏三角面体	复三方偏三角面体 六方偏三角面体	复四方偏三角面体 八方偏三角面体	复五方偏三角面体 十方偏三角面体	复六方偏三角面体 十二方偏三角面体

参见

• 偏四角面体