杰恩斯-卡明斯模型

杰恩斯-卡明斯模型（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一个量子光学的理论模型。 这是一个描述双态系统和量子化光腔(optical cavity)交互作用的模型，这种交互作用和光子的存在与否无关(在电磁辐射能造成光子自发性的放射与吸收)。它主要被运用在原子物理学、量子光学、固态量子信息电路的理论与实验上。

杰恩斯-卡明斯模型。圆圈内展示了光子的发射与吸收

公式

系统哈密顿量

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}+{\hat {H}}_{\text{int}}}$

由自由场哈密顿量，原子激发态哈密顿量，JCM哈密顿量组成：

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}_{\text{field}}&=&\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{atom}}&=&\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&=&{\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{array}}}$

为方便起见，设真空场能量为 ${\displaystyle 0}$.

其中：

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}}$场运算符，目的是把量化辐射场转化为玻色子的模型，另外双态原子是能被三维布洛赫球面所描述的半自旋粒子
  • ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {a}}^{\dagger }\end{smallmatrix}}}$是玻色子的创生算符
  • ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {a}}\end{smallmatrix}}}$ 是玻色子的湮灭算符

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}\end{smallmatrix}}}$是原子耦合区的偏振运算符
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}}$与${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|\end{smallmatrix}}}$ 是原子的阶梯算符
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {\sigma }}_{z}=|e\rangle \langle e|-|g\rangle \langle g|\end{smallmatrix}}}$ 是原子反转运算符
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\omega _{a}\end{smallmatrix}}}$是原子的跃迁频率
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\omega _{c}\end{smallmatrix}}}$ 是模型的角频率

JCM哈密顿量

通过把薛定谔绘景转换为相互作用绘景(又名旋转框架(rotating frame)) ，使得${\displaystyle {\begin{smallmatrix}H_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}}}$，可以得到：

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).}$

这个哈密顿量同时包含了两个部分：

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}(\omega _{c}+\omega _{a})\end{smallmatrix}}}$ 是快速震荡，
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}(\omega _{c}-\omega _{a})\end{smallmatrix}}}$ 是慢速震荡。

为了求解这个方程，简化模型是再所难免的。注意到，当 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\omega _{c}-\omega _{a}|\ll \omega _{c}+\omega _{a}\end{smallmatrix}}}$ 的时候，快速振荡的 “反向旋转”项（也就是快速震荡项）可被忽略，这被称为旋波近似。再将之转换回薛定谔绘景，JCM哈密顿量就变成了：

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).}$

其中，

• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\hbar \Omega /2=d(\omega _{a}/\hbar V\epsilon _{0})^{1/2}\end{smallmatrix}}}$是原子场的耦合常数，
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}}}$是原子跃迁时刻，
• ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}}}$是腔模的体积。

本征态

一般情况下，将哈密顿量拆分为2部分有助于对其进行求解:

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{I}+{\hat {H}}_{II},}$

其中，

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\hat {H}}_{I}&=&\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{II}&=&\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\delta =\omega _{a}-\omega _{c}\end{smallmatrix}}}$ 称之为场与双态系统的失谐量（频率）。

为了更好地求解哈密顿量，把${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{I}\end{smallmatrix}}\end{smallmatrix}}}$的本征态转换成张量积 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|n,g\rangle ,|n,e\rangle \end{smallmatrix}}}$（${\displaystyle {\begin{smallmatrix}n\in \mathbb {N} \end{smallmatrix}}}$，表示模型中辐射量子的数量。）

对位任意正整数n，状态${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\psi _{1n}\rangle :=|n,e\rangle \end{smallmatrix}}}$ 与状态${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|\psi _{2n}\rangle :=|n+1,g\rangle \end{smallmatrix}}}$ 会退化为${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{I}\end{smallmatrix}}}$ ，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}}$ 足以在子空间${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\text{span}}\{|\psi _{1n}\rangle ,|\psi _{2n}\rangle \}\end{smallmatrix}}}$对角化。 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\hat {H}}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}}}$的元素属于${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{H}_{ij}^{(n)}:=\langle \psi _{in}|{\hat {H}}_{\text{JC}}|\psi _{jn}\rangle \end{smallmatrix}}}$的子空间，表示为：

${\displaystyle H^{(n)}=\hbar {\begin{pmatrix}n\omega _{c}+{\frac {\omega _{a}}{2}}&{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}\\[8pt]{\frac {\Omega }{2}}{\sqrt {n+1}}&(n+1)\omega _{c}-{\frac {\omega _{a}}{2}}\end{pmatrix}}}$

对于任意正整数n，能量本征态${\textstyle {\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}}}$为：

${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),}$

其中，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}\end{smallmatrix}}}$ 是拉比频率特殊的失谐参数。

含能量本征态 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}}$的特征值是：

${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$

${\displaystyle |n,-\rangle =-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle }$

其中，${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\angle \alpha _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)\end{smallmatrix}}}$

薛定谔绘景动量

为了得到动量的一般情况。 首先考虑一个场叠加态的初态 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}~|\psi _{\text{field}}(0)\rangle =\sum _{n}{C_{n}|n\rangle }~\end{smallmatrix}}}$，若置一激发态原子于场内，则系统初态为：

${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle -\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle \right].}$

其中 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}~|n,\pm \rangle ~\end{smallmatrix}}}$ 是该系统的定态, 含时状态向量是：

${\displaystyle |\psi _{\text{tot}}(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|\psi _{\text{tot}}(0)\rangle =\sum _{n}C_{n}\left[\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,+\rangle e^{-iE_{+}(n)t/\hbar }-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|n,-\rangle e^{-iE_{-}(n)t/\hbar }\right],t>0}$

相互作用绘景动量

可以直接通过海森堡记法（Heisenberg notation）来确定幺正演化算符（unitary evolution operator） :^[1]

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}{\hat {U}}(t)&=e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }\\&={\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}-i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\right)&-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\,{\hat {a}}\\-ige^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\hat {a}}^{\dagger }&e^{-i\omega _{c}t({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{2}})}\left(\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}}+i\delta /2{\frac {\sin t{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}}\right)\end{pmatrix}}\end{aligned}}\end{matrix}}}$

其中，定义算符${\displaystyle ~{\hat {\varphi }}~}$为

${\displaystyle {\hat {\varphi }}=g^{2}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\delta ^{2}/4}$

${\displaystyle ~{\hat {U}}~}$的幺正(unitary )被恒等定义：

${\displaystyle {\frac {\sin t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;{\frac {\sin t\,{\sqrt {\hat {\varphi }}}}{\sqrt {\hat {\varphi }}}},}$

${\displaystyle \cos t\,{\sqrt {{\hat {\varphi }}+g^{2}}}\;{\hat {a}}={\hat {a}}\;\cos t{\sqrt {\hat {\varphi }}},}$

幺正算符可以计算被密度矩阵${\displaystyle ~{\hat {\rho }}(t)~}$所描述的含时系统状态的演变，幺正算符包含了所有可观测量。给定初态${\displaystyle ~{\hat {\rho }}(0)~}$，则有：

${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}^{\dagger }(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)}$，

${\displaystyle \langle {\hat {\Theta }}\rangle _{t}={\text{Tr}}[{\hat {\rho }}(t){\hat {\Theta }}]}$ ，

其中，${\displaystyle ~{\hat {\Theta }}~}$ 是表示可观测量的算符。

量子震荡的崩塌和复兴

原子反转的量子震荡图像（二次反比失谐参数 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}a=(\delta /(2g))^{2}=40\end{smallmatrix}}}$， 其中${\displaystyle \delta }$是失谐参数），基于 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式^[2]。