冯纽曼熵

量子统计力学中，冯纽曼熵（英语：von Neumann entropy）是经典体系吉布士熵概念的拓展延伸。体系的冯纽曼熵为

${\displaystyle S{\dot {=}}-\mathrm {Tr} (\rho \ln \rho ),}$

其中Tr表示求迹（中文：迹），${\displaystyle \rho }$是体系的密度矩阵（中文：密度矩阵）。

运用密度矩阵的本征态向量分解表示

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$

可以得到：

${\displaystyle S=-\sum _{i}w_{i}\ln w_{i}.}$

性质

冯纽曼熵有下列性质：

• ${\displaystyle S=0\iff \rho }$代表纯态（中文：纯态）；
• ${\displaystyle S=S_{\max }=\ln N\iff \rho }$代表最大混合态，就是所有的${\displaystyle w_{i}}$都等于${\displaystyle N^{-1}}$，其中${\displaystyle N}$是希尔伯特空间（中文：希尔伯特空间）的维数；
• 对密度矩阵作酉变换（英语：Unitary transformation），${\displaystyle S}$不变。
• 冯纽曼熵是密度矩阵的上凸函数（中文：凹函数）：

${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,\rho _{i}{\bigg )}\,\geq \,\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\,S(\rho _{i}),\qquad \forall \lambda _{i}\geq 0,\sum _{i}\lambda _{i}=1;}$

• 冯纽曼熵对独立体系有加和性，就是：如果${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$是两个独立的体系，这样

${\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$