切比雪夫函数

在数学上，切比雪夫函数（Chebyshev Function）可指一个标量化函数（切比雪夫加权标量化函数），或两个彼此相关的函数的其中之一。

切比雪夫第二函数${\displaystyle \psi (x)}$在x < 50时的图像

切比雪夫第一函数（First Chebyshev Function）在文献中一般记做${\displaystyle \vartheta (x)}$或${\displaystyle \theta (x)}$，其形式如下：

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

其中${\displaystyle \log }$是自然对数，而切比雪夫第一函数就是所有小于等于x的质数p的自然对数的总和。

切比雪夫第二函数（Second Chebyshev Function）在文献中一般记做${\displaystyle \psi (x)}$，其定义类似，为所有小于等于x的质数p的幂的自然对数的总和，而其形式如下：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

其中${\displaystyle \Lambda }$是冯·曼戈尔特函数。切比雪夫函数，尤其切比雪夫第二函数${\displaystyle \psi (x)}$，经常出现于与质数相关的数学证明中，而这是因为这些函数比质数计数函数${\displaystyle \pi (x)}$还容易处理之故。可见下等式一节说明。

切比雪夫第一及第二函数都与x呈现非病态关系，而这点等价于质数定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函数外，还有个与上述无关无关的切比雪夫加权标量化函数（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函数（Chebyshev utility function），其形式如下：

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^[1]

借由最小化这方程式不同${\displaystyle w}$的数值，可得到帕累托前沿（英语：Pareto front）的每个点，甚至是非凸性的部分。^[1]很多时候，要最小化的不是${\displaystyle f_{i}}$，而是在给定标量${\displaystyle z_{i}^{*}}$的状况下${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$的数值，而在这种状况下有${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$。^[2]

这三个函数皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫为名，唯本文的主题是数论上的切比雪夫第一及第二函数，切比雪夫加权标量化函数与这两函数无关，也不会出现在接下来的讨论中。

切比雪夫第一及第二函数的关系

切比雪夫第一及第二函数彼此相关，要验证这点，可先将切比雪夫第二函数写成如下形式：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

其中k是使得${\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}}$的唯一整数，而k的值可参见A206722。一个更直接的关系如下：

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

注意的是和的后半段只有有限多个非零数值，而这是因为有下式之故：

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

切比雪夫第二函数是从1到n所有数的最小公倍数的自然对数：

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

对于n而言，lcm(1, 2, ..., n)的值可参见A003418。

以下定理将${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$及${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$这两个分数给联系起来。^[3]

定理：若${\displaystyle x>0}$则有

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

注意：从此不等式可推出

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

换句话说，若${\displaystyle \psi (x)/x}$或${\displaystyle \vartheta (x)/x}$其中一个趋近某个极限，则另一个也是如此，也就是两者的极限相等。

证明：由于${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$，因此有

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

而由${\displaystyle \vartheta (x)}$的定义，可得以下明显的不等式：

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

因此有

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

最后，将此不等式两边除以${\displaystyle x}$，即可得定理的不等式。

非病态关系及上下界

对于切比雪夫函数，有以下已知的界线。其中p_k是第k个质数，也就是p₁ = 2、p₂ = 3等等：^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

此外，若黎曼猜想成立，则对于任意的${\displaystyle \varepsilon >0}$而言，有以下关系式：

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

对任意的${\displaystyle x>0}$而言，切比雪夫第一函数${\displaystyle \vartheta (x)}$及第二函数${\displaystyle \psi (x)}$有以下的上界：^{[4] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

对于1.03883这常数的解释，可见A206431的说明。

等式

1895年，汉斯·冯·曼戈尔特证明了^[4]${\displaystyle \psi (x)}$有以下作为黎曼ζ函数非平凡零点和的解析解（英语：Explicit_formulae_(L-function)）：

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

其中ζ′ (0)/ζ (0)的数值为log(2π)、ρ遍历黎曼ζ函数的所有非平凡零点，而ψ₀是一个与ψ类似的函数，但差别是其在跳跃不连续点（质数的幂）的取值为其左边与右边值的中间：

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

就自然对数的泰勒展开式而言，解析解的最后一项可理解为x^ω/ω对黎曼ζ函数平凡零点ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是说，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

类似地，此公式第一项x = x¹/1对应到黎曼ζ函数在1的单纯极点。这部分作为极点而非零点的事实，说明了项的变号。

性质

一个由埃哈德·施密特证明的结果指称，对于某个特定的正常数K，存在有无限多个正整数x使得

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

同时有无限多个正整数x使得

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$^[5][6]

使用小o符号，可将上式重述为

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

哈代与李特尔伍德^[7]证明了一个更强的结果，表述如下：

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

也就是说有无限多的正整数x，使得${\displaystyle \psi (x)}$与x之间的差的绝对值超过${\displaystyle {\sqrt {x}}\,\log \log \log x}$。

与质数阶乘的关系

切比雪夫第一函数也是x的质数阶乘x #的对数：

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

这说明了质数阶乘x #非病态地等于e^{(1  + o(1))x}，其中o是小o符号（见大O符号一文的说明），而这点与质数定理共同确立了p_n #的非病态行为。

与质数计数函数间的关系

切比雪夫函数可透过下式与与质数计数函数发生关系。定义

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

那么有

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

从Π到质数计数函数π间的转换可由下式表示：

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

由于很明显地，有π (x) ≤ x之故，因此为了估计的目的，最后的关系式可重述如下：

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

黎曼猜想

黎曼猜想指称说黎曼ζ函数任意的非显著零点的实部的值为1/2。在这种状况下，有|x^ρ| = √x，且可证明说

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

由上式可推得

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

平滑化函数

平滑化切比雪夫函数定义如下：

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

显然有${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$