加法单位元

在数学里，一个具有加法运算的集合中的加法单位元，是指不论它加上任何一个在此集合内的元素x都会等于x的元素。

基本例子

• 初等数学中所熟悉的加法单位元为0。

如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5。

• 在自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$和其所有的父集(整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$、有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$、实数${\displaystyle \mathbb {R} }$、复数${\displaystyle \mathbb {C} }$)内，其加法单位元皆为0。所以对于任何一个数${\displaystyle n}$，

${\displaystyle n+0=n=0+n}$。

形式定义

令${\displaystyle N}$是一个在加法运算下封闭的集合。${\displaystyle N}$的加法单位元即为任一个能使所有在${\displaystyle N}$内的元素${\displaystyle n}$有下列公式的元素${\displaystyle e}$：

${\displaystyle e+n=n=n+e}$。

更多例子

• 在一个群里，加法单位元即是这个群的单位元，通常标记做0，并且是唯一的(见下面证明)。

• 一个环或一个体也会是一个在加法运算下的群，因此它们也会有一个唯一的加法单位元0。它被定义必须和乘法单位元1不同，若环（或体）有两个以上的元素时。如果加法单位元和乘法单位元是同一个的话，这个环则会是当然的(见下面证明)。

• 在一个于群${\displaystyle G}$上的${\displaystyle m}$乘${\displaystyle n}$阶矩阵所组成的群${\displaystyle M_{m\times n}(G)}$里，其加法单位元标记为0，且会是个其元素都是在${\displaystyle G}$内的单位元0的${\displaystyle m}$乘${\displaystyle n}$矩阵。例如，在一个于整数上的2阶方阵${\displaystyle M_{2}(\mathbb {Z} )}$里，其加法单位元为

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$.

证明

加法单位元在一个群里是唯一的

令${\displaystyle (G,+)}$是一个群，且设0和0'是在${\displaystyle G}$内的两个加法单位元，则对于所有在${\displaystyle G}$内的${\displaystyle g}$而言，

${\displaystyle 0+g=g=g+0}$ 且${\displaystyle 0'+g=g=g+0'}$。

由上可得

(0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可证明 0 = 0'。

加法和乘法单位元在一个非平凡环里是不同的

令${\displaystyle R}$是一个环，且假设加法单位元0和乘法单位元1会相等，即0=1。设${\displaystyle r}$为于${\displaystyle R}$内的任一元素，则

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

其表示${\displaystyle R}$必须是平凡的，亦即${\displaystyle R=\{0\}}$。再依照换质位法，即可得出若${\displaystyle R}$不是平凡的，则0不会等于1的结论。

另见

• 加法逆元
• 单位元
• 乘法单位元

外部链接

• 加法单位元在一个环里的唯一性 at PlanetMath.
• Margherita Barile. 加法單位元. MathWorld.

参考文献

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.