匹配Z变换方法

匹配Z变换方法（matched Z-transform method）也称为极点-零点映射（pole–zero mapping）^[1][2]或极点－零点匹配法（pole–zero matching method）^[3]，简称MPZ或MZT^[4]，是将连续时间（英语：Discrete_time_and_continuous_time）滤波器转换到离散时间滤波器（数字滤波器）设计的技巧。

5阶切比雪夫滤波器在s平面下的极点和零点，后续要用离离散滤波器来近似

离散时间切比雪夫滤波器在z平面下的极点和零点，利用匹配Z变换方法转换到z平面，T = 1/10秒。其中的频率点以及表示频带的点线是透过z=e^iωT函数映射的，可以看出s平面的iω是如何映射到z平面的单位圆上

其作法是将所有的s平面设计时的极点和零点转换到z平面的位置${\displaystyle z=e^{sT}}$，其中取样周期${\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }}$^[5]。因此以下传递函数的类比滤波器：

${\displaystyle H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}}$

会转换为以下的数位传递函数

${\displaystyle H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}}$

其增益${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$需调整，使结果为其理想的增益，一般会和类比滤波器的直流增益匹配，透过设定${\displaystyle s=0}$及${\displaystyle z=1}$，并且求解${\displaystyle k_{\mathrm {d} }}$.^[3][6]。

因为此映射会将s平面的${\displaystyle j\omega }$轴反复的映射到z平面的单位圆上，若零点或是极点超过奈奎斯特频率，其映射后的位置会有混叠的情形^[7]。

一般情形下，类比滤波器的极点会比零点多，在${\displaystyle s=\infty }$处的零点可以移到奈奎斯特频率，作法是放在${\displaystyle z=-1}$的位置^[1][3][6][7]。

此转换方式可以保持有界输入有界输出稳定性以及最小相位，但不会保持时域或是频域的响应，因此不常使用^[8][7]。较常使用的方式有双线性转换及冲激不变法^[4]。匹配Z变换方法的高频响应误差比双线性转换要小，因此比较容易透过加入额外的零点来修正其特性，此方式称为MZTi（i表示改良版improved）^[9]。

在数位控制中，匹配Z变换方法有一个特别的应用，就是艾克曼公式（英语：Ackermann's formula），可以调整可控制性系统的极点，一般会将不稳定（或接近不稳定）的极点调整到稳定的位置。

类比滤波器响应（点线）以及其离散近似值（实线），正规截止频率为1 Hz，取样率1/T = 10 Hz。离散时间的滤波器在截止带没有重现切比雪夫的等涟波特性，原因是重复映射到单位圆上引起的混叠