单位矩阵

在线性代数中，${\displaystyle n}$阶单位矩阵，是一个${\displaystyle n\times n}$的方形矩阵，其主对角线元素为1，其余元素为0。单位矩阵以${\displaystyle I_{n}}$表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为${\displaystyle I}$^{[注 1]}（或者${\displaystyle E}$）。

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

此条目的主题是主对角线元素为1、其余元素为0的矩阵。关于所有元素皆为1的矩阵，请见“一矩阵”。

一些数学书籍使用${\displaystyle U}$和${\displaystyle E}$（分别意为单位矩阵（unit matrix）和基本矩阵（Einheitsmatrix）），不过${\displaystyle I}$更加普遍。

特别是单位矩阵作为所有${\displaystyle n}$阶矩阵的环的单位，以及作为由所有${\displaystyle n}$阶可逆矩阵构成的一般线性群${\displaystyle GL(n)}$的单位元（单位矩阵明显可逆，单位矩阵乘自己，仍是单位矩阵）。

这些${\displaystyle n}$阶矩阵经常表示来自${\displaystyle n}$维向量空间自己的线性变换，${\displaystyle I_{n}}$表示恒等函数，而不理会基。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵，写作：

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)}$

也可以克罗内克尔δ记法写作：

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}$

性质

根据矩阵乘法的定义，单位矩阵${\displaystyle I_{n}}$的重要性质为：

${\displaystyle AI_{n}=A}$且${\displaystyle I_{n}B=B}$

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。^[1]具有重数 ${\displaystyle n}$。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为${\displaystyle n}$。