卡尔曼分解

卡尔曼分解（Kalman decomposition）是控制理论中的数学工具，可以将线性时不变（LTI）控制系统转变为可以清楚区分系统可观测及可控制成分的系统。分解后的系统会有更清楚的结构，更容易可以对系统可到达（英语：Reachability problem）及可观测子空间的特性下结论。

符号

推导方式在离散时间系统及连续时间系统都是一様的。连续时间线性系统可以表示如下：

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}$

其中

${\displaystyle \,x}$为状态向量

${\displaystyle \,y}$为输出向量

${\displaystyle \,u}$为输入（或控制）向量

${\displaystyle \,A}$为状态矩阵

${\displaystyle \,B}$为输入矩阵

${\displaystyle \,C}$为输出矩阵

${\displaystyle \,D}$为前馈矩阵

而离散时间线性系统可以表示如下：

${\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$

${\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}$

各向量及矩阵的意思如上。因此，系统可以表示为包括四个矩阵的数组${\displaystyle \,(A,B,C,D)}$。 令系统的阶数为${\displaystyle \,n}$。

卡尔曼分解定义为将矩阵数组${\displaystyle \,(A,B,C,D)}$变换为矩阵数组${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$，且后者有以下的特性：

${\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT}$

${\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B}$

${\displaystyle \,{\hat {C}}=CT}$

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$

${\displaystyle \,T}$为${\displaystyle \,n\times n}$的可逆矩阵，可以定义为

${\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

其中

• ${\displaystyle \,T_{r{\overline {o}}}}$的各列（column）会生成可到达，不可观察的状态子空间。
• 选择${\displaystyle \,T_{ro}}$ ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}}$的各列（column）是可到达子空间的基底。
• 选择${\displaystyle \,T_{\overline {ro}}}$ ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}}$的各列（column）是不可观察子空间的基底。
• 选择${\displaystyle \,T_{{\overline {r}}o}}$ ，使得${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$可逆。

依上述的建构方式，矩阵${\displaystyle \,T}$可逆。可以观察到其中有些矩阵可能会是零维度。例如，若系统有时有可观察性及可控制性，则${\displaystyle \,T=T_{ro}}$，其他的矩阵都是零维。

标准型

利用可控制性及可观察性的结果，可以证明变换后的系统${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$有以下形式的矩阵：

${\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$

因此可得以下结论

• 子系统${\displaystyle \,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$具有可到达性及可观察性。
• 子系统${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)}$有可到达性。
• 子系统${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)}$有可观察性。

相关条目

• 可观测性
• 可控制性

外部链接

• Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25（页面存档备份，存于互联网档案馆） - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare