卡罗尔质数

卡罗尔质数是可以用${\displaystyle 4^{n}-2^{n+1}-1}$或${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$表示的质数，前几个卡罗尔数是：1、7、47、223、959、3967、16127、65023、261119、1046527 （OEIS数列A093112）。

这些数字最早是由克莱斯图斯·伊曼纽尔（Cletus Emmanuel）研究，他以以朋友卡罗尔·基农（Carol G. Kirnon）的名字命名。^[1][2]

二进制表示式

在n > 2时，第n个卡罗尔数在二进制下，可以表示为n − 2 个连续的1，中间一个零，n + 1个连续的1，或者可以表示如下：

${\displaystyle \sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}.}$

例如，47的二进制为101111，223的二进制是11011111，第2n个梅森数和第n个卡罗尔数的间的差是${\displaystyle 2^{n+1}}$，因此可得卡罗尔数的另一个等效表示式${\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}}$。第n个凯尼亚质数会比第n个卡罗尔质数多2的n+2次方。