双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换是一种积分变换，其形式类似几率中的动差生成函数，双边拉普拉斯变换和傅立叶变换、梅林变换及单边的拉普拉斯变换有紧密的关系。若ƒ(t)为实数t的实数函数或是复变函数，t可以为任意实数，则双边拉普拉斯变换可以用以下的积分表示：

${\displaystyle {\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

此积分为反常积分，此积分收敛当且仅当以下二个积分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

都存在。双边拉普拉斯变换没有一个广为大家接受的表示方式，此处用的符号是${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，表示双向（bilateral），有些作者会用以下的式子来表示：

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

在科学和工程学应用上，引数t常表示时间（单位是秒），函数f(t)表示时变的信号或波形。在这些应用里，可以用滤波器转换信号，类似数学算子，但有些限制。滤波器需要是因果的，也就是其时间t的输出不会受时间t以后的输出所影响。

在人口生态学中，t常表示扩散核的空间位移。

在处理时间函数时，f(t)称为讯号的时域表示，而F(s)称为s域（或拉普拉斯域）表示。逆变换将讯号的“合成”表示为其所有频率分量的总和，而正变换则将讯号“分析”为其频率分量。

傅里叶变换的关系

傅里叶变换可以定义为以下的双边拉普拉斯变换：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

其傅里叶变换的定义有变化，特别会使用下式

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)}$

也可以用傅里叶变换来表示双边拉普拉斯变换

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).}$

傅立叶变换通常定义在实数范围内；上述定义是在一个带状区域 ${\displaystyle a<\Im (s)<b}$内，该区域可能不包含傅立叶变换应该收敛的实轴。

这就是拉普拉斯变换在控制理论和讯号处理中仍然具有价值的原因：傅立叶变换积分在其定义域内收敛，仅表示用它描述的线性、移位不变系统是稳定或临界的。而拉普拉斯变换对于每个指数增长以内的脉冲响应都会在某处收敛，因为它多了一个可以视为指数调节器的项次。由于不存在超过指数增长的线性回授网络，基于拉普拉斯变换的线性、移位不变系统的分析和求解在拉普拉斯变换（而非傅立叶变换）的背景下具有其最普遍的形式。

同时，现今的拉普拉斯变换理论已分类在更广泛的积分变换，甚至是调和分析范畴。在这个框架和命名法中，拉普拉斯转换只是傅立叶分析的另一种形式，不过可能是更为普遍的形式。

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