双重梅森数

双重梅森数（英语：double Mersenne number）是指可以用以下形式表示的梅森数：

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$

其中n为正整数。

双重梅森数的数列如下

${\displaystyle M_{M_{1}}=M_{1}=1}$

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{4}}=M_{15}=32767}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$ （OEIS数列A077585）

双重梅森数的2倍加3是费马数。

双重梅森素数

若双重梅森数本身也是素数，则称为双重梅森素数。由于梅森数M_p为素数的必要条件是p为素数，因此双重梅森数${\displaystyle M_{M_{p}}}$为素数的必要条件是${\displaystyle M_{p}}$为梅森素数。

头几个双重梅森素数如下^[1]：

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$ （OEIS数列A077586）.

头几个使M_p为素数的p值为p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS数列A000043）。在p为2, 3, 5, 7时，${\displaystyle M_{M_{p}}}$为素数，但在p = 13, 17, 19及31时，${\displaystyle M_{M_{p}}}$不是素数，下一个双重梅森数${\displaystyle M_{M_{61}}}$还不确定是否是素数，其数值为2^{2305843009213693951} − 1，大约是1.695×10^{694127911065419641}，目前已知的素性测试无法处理这么大的数字，已知在小于4×10³³的整数中，没有${\displaystyle M_{M_{61}}}$的素因数。^[2]可能除了上述的四个双重梅森素数外，不存在其他的双重梅森素数。^[1][3]。

和大众娱乐的关系

在乃出个未来电影版《The Beast with a Billion Backs》中，双重梅森数${\displaystyle M_{M_{7}}}$出现在“哥德巴赫猜想的大略证明”中，其中该数字被称为“火星素数”（martian prime）。

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